【拓扑优化】基于FEM和移动节点法（MNA）进行2D平面应变问题的拓扑优化附Matlab代码

最新推荐文章于 2025-11-27 21:04:18 发布

原创最新推荐文章于 2025-11-27 21:04:18 发布 · 651 阅读

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#平面 #matlab #数据结构

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🔥 内容介绍

在工程设计的广袤领域中，拓扑优化作为一种创新的设计理念，正逐渐崭露头角，成为推动设计变革的关键力量。简单来说，拓扑优化是一种根据给定的负载情况、约束条件和性能指标，在给定的区域内对材料分布进行优化的数学方法。它突破了传统设计的思维定式，不再局限于对结构形状和尺寸的常规调整，而是从材料分布的层面出发，探索结构的最优布局，以实现性能的最大化和资源的最有效利用。

拓扑优化在工程设计中具有举足轻重的地位。在航空航天领域，通过拓扑优化设计的飞机零部件，如机翼、机身框架等，能够在减轻重量的同时提高结构强度和刚度，从而降低燃油消耗，提升飞行性能；在汽车制造行业，拓扑优化可用于优化车身结构和发动机部件，实现汽车的轻量化，不仅能提高燃油效率，还能增强操控性能和安全性能；在机械工程中，拓扑优化能帮助设计师设计出更高效、更紧凑的机械结构，减少材料浪费，降低制造成本。可以说，拓扑优化已经成为现代工程设计中不可或缺的重要工具，为解决复杂的设计问题提供了全新的思路和方法。

而在拓扑优化的众多实现方法中，基于有限元法（FEM）和移动节点法（MNA）的拓扑优化技术，以其独特的优势和强大的功能，受到了广泛的关注和应用。FEM 作为一种成熟的数值计算方法，能够将连续的求解域离散为有限个单元，通过对这些单元的分析和计算，获得结构的力学性能。在拓扑优化中，FEM 为材料分布的优化提供了坚实的理论基础和精确的分析手段，使得设计师能够准确地评估不同材料分布方案下结构的性能表现。MNA 则是一种通过移动节点来调整材料分布的优化方法，它能够在保持结构拓扑关系不变的前提下，灵活地改变材料的分布形态，从而实现结构的优化。MNA 具有计算效率高、收敛速度快等优点，能够有效地解决复杂的拓扑优化问题。

FEM：有限元法的 “魔力”

（一）FEM 原理大揭秘

有限元法（FEM），作为现代工程分析的核心技术之一，其原理犹如一把精巧的钥匙，能够打开复杂工程问题的大门。想象一下，我们面对的工程结构原本是一个连续的整体，就像一块完整的蛋糕。而 FEM 的第一步，就是将这个连续体离散成有限个单元，这就好比把蛋糕切成了大小形状各异的小块。这些单元可以是三角形、四边形、四面体等简单的几何形状，它们通过节点相互连接，形成了一个离散的模型。

在每个单元内部，FEM 通过设定合适的插值函数，将单元内的未知变量（如位移、应力等）用节点处的变量值来近似表示。这就如同用一些关键的点来描绘出整个单元的特征，虽然是近似，但却能以巧妙的数学方法逼近真实情况。接着，基于变分原理或能量原理，为每个单元建立平衡方程，这些方程描述了单元在受力情况下的力学行为。最后，将所有单元的方程组装成一个整体的方程组，通过求解这个方程组，就能得到结构中各个节点的位移、应力和应变等信息，从而全面了解结构的力学性能。

FEM 的应用场景广泛，在航空航天领域，它被用于分析飞机机翼在高速飞行时的气动弹性响应，确保机翼在复杂的空气动力作用下能够保持稳定的结构性能；在汽车行业，工程师们利用 FEM 模拟汽车碰撞过程，预测车身结构的变形和能量吸收情况，为提高汽车的安全性能提供关键依据；在土木工程中，FEM 可用于评估桥梁在各种载荷条件下的应力分布和变形状态，保障桥梁的安全稳固。

（二）FEM 在 2D 平面应变问题中的应用实例

为了更直观地感受 FEM 在 2D 平面应变问题中的强大作用，我们来看一个具体的案例。假设有一个承受均布载荷的矩形薄板，其两端被固定约束。这是一个典型的 2D 平面应变问题，在实际工程中，比如建筑结构中的楼板、机械零件中的平板等，都可能遇到类似的力学情况。

运用 FEM 解决这个问题时，首先要对矩形薄板进行离散化处理。我们将薄板划分成一个个小的四边形单元，这些单元紧密排列，覆盖整个薄板区域。每个单元的节点与相邻单元的节点相互连接，形成一个离散的网格模型。通过合理地选择单元类型和划分网格密度，我们能够在保证计算精度的同时，提高计算效率。

接下来，根据材料的力学性能和薄板所受的载荷条件，建立单元的刚度矩阵和载荷向量。刚度矩阵反映了单元抵抗变形的能力，而载荷向量则包含了作用在单元上的外力信息。将所有单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整体刚度矩阵和整体载荷向量后，就得到了一个线性方程组。这个方程组描述了整个薄板结构在载荷作用下的力学平衡关系。

通过求解这个线性方程组，我们可以得到每个节点的位移值。有了节点位移，再利用几何方程和物理方程，就能够计算出单元内的应变和应力分布。最终，我们可以通过可视化的方式，将计算得到的应力和应变分布以云图的形式展示出来，清晰地看到薄板在载荷作用下的力学响应情况。从云图中，我们可以直观地观察到应力集中的区域，以及应变较大的部位，从而为结构的优化设计提供重要的参考依据。

MNA：移动节点法的 “奥秘”

（一）MNA 工作机制解析

移动节点法（MNA），宛如一位灵动的舞者，在拓扑优化的舞台上展现出独特的魅力。它的核心工作机制是通过巧妙地移动节点，实现结构拓扑的灵活改变。在传统的拓扑优化方法中，往往需要对整个结构进行复杂的重新划分和计算，而 MNA 则另辟蹊径。它将注意力聚焦在节点的移动上，通过合理地调整节点的位置，来改变结构的几何形状和材料分布。

想象一下，我们有一个由节点和单元组成的结构模型，就像一个用积木搭建的建筑。MNA 就像是一双灵活的手，能够小心翼翼地移动这些积木（节点）的位置，而不破坏整个建筑的基本连接关系（拓扑关系）。在移动节点的过程中，MNA 会根据一定的优化准则，如结构的刚度最大化、重量最小化等，来确定节点的移动方向和距离。通过不断地迭代计算，使得节点逐渐移动到最优的位置，从而实现结构拓扑的优化。

MNA 在拓扑优化中具有诸多独特的优势。它的计算效率相对较高，由于不需要对整个结构进行大规模的重新划分和计算，大大减少了计算量和计算时间；MNA 能够有效地处理复杂的拓扑变化，它可以在保持结构拓扑关系的前提下，实现结构形状的大幅度改变，从而为寻找更优的拓扑结构提供了可能；MNA 还具有较好的收敛性，能够较快地收敛到较优的解，提高了优化的效率和可靠性。

（二）MNA 在 2D 平面应变问题中的实践应用

在实际工程中，MNA 在 2D 平面应变问题的拓扑优化中有着广泛的应用。以一个受集中载荷的 2D 平面框架结构为例，假设这个框架结构是一个简单的矩形框架，在其顶部受到一个集中载荷的作用。我们的目标是通过 MNA 进行拓扑优化，在满足一定约束条件下，找到使框架结构刚度最大的材料分布方案。

首先，我们需要对这个 2D 平面框架结构进行离散化处理，将其划分为有限个单元，并确定每个单元的节点位置。然后，根据材料的力学性能和结构所受的载荷条件，建立结构的有限元模型。在这个模型中，我们可以通过定义节点的位移和力的关系，来描述结构的力学行为。

接下来，引入 MNA 进行拓扑优化。在每一次迭代过程中，MNA 会根据当前结构的力学响应和优化目标，计算出每个节点的移动方向和距离。例如，如果当前结构在某些区域的应力较大，MNA 会尝试将这些区域的节点向应力较小的方向移动，以调整材料的分布，降低应力集中，提高结构的整体性能。通过不断地迭代，节点逐渐移动到最优的位置，结构的拓扑也逐渐优化。

经过一系列的迭代计算后，我们可以得到优化后的结构拓扑。从结果中可以明显看到，优化后的结构在载荷作用下的变形明显减小，应力分布更加均匀，结构的刚度得到了显著提高。这充分展示了 MNA 在 2D 平面应变问题拓扑优化中的强大能力和实际应用价值。通过 MNA 的优化，我们能够在不增加材料成本的前提下，有效地提高结构的性能，为工程设计提供了更优的解决方案。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

%% Topology optimization

% Code developed by Ghislain Raze under the supervision of Prof. Joseph

% Morlier

% Initial code by Johannes T. B. Overvelde

% <http://www.overvelde.com>

clear all

close all

clc

%% Method, material distribution and optimization algorithm

% The elastic problem can be discretized thanks to two different methods

% : the Element-Free Galerkin (EFG) method or the Finite Element Method (FEM).

% The material distribution

methodChoice = 2; % 1: EFG, 2: FEM

massChoice = 3; % 1: Mass nodes, 2: Undeformable structural

% members, 3: Deformable structural members

optimChoice = 7; % 1: Overvelde's algorithm, 2: steepest descent,

% 3: conjugated gradients, 4: quasi Newton

% BFGS, 5: Matlab fminunc or fmincon

% (recommanded), 6: Matlab ga.

%% Load case

loadCase = 'AirfoilStiff'; % The corresponding file must exist

%% Plots

plotInitial = true; % Plot the initial mass distribution

plotFinal = true; % Plot the final mass distribution

plotMesh = true; % Plot the discretization mesh

plotDEvolution = true; % Plot the density at given iteration

plotCEvolution = true; % Plot the elements contour at given iteration

plotCompliance = true; % Plot the compliance evolution

plotMass = true; % Plot the mass evolution

plotDeformed = true; % Plot the final deformed configuration

%% Build path

addpath('Optimization/');

addpath('Optimization/LineSearch/');

addpath('Optimization/Optimizers/');

addpath('Optimization/Scripts/');

addpath('Constants/');

addpath('Constants/LoadCases/');

addpath('Discretization/');

addpath('MaterialDistribution/');

addpath('EFG/');

addpath('FEM/');

addpath('Plots/');

addpath('Plots/Callbacks/');

addpath('Plots/Postprocessing/');

addpath('Display/');

%% Constants initialization

GlobalConst;

problemConstants(loadCase);

optimizationConstants;

mergingConstants;

%% Optimization process

switch optimChoice

case 1