【信号分解】动态模式分解(DMD)算法在计算Koopman算子特征值和特征函数方面的应用Matlab代码

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🔥 内容介绍

一、技术背景与核心问题

Koopman 算子作为描述非线性系统动态行为的 “线性化工具”，其核心价值在于将非线性系统映射至高维线性空间后，通过Koopman 特征对（特征值 λ、特征函数 φ） 揭示系统的本质动态特性 —— 特征值决定系统模态的增长 / 衰减趋势（如 |λ|>1 表示模态发散，|λ|<1 表示模态收敛），特征函数则对应系统的固有动态模式（如振荡模态、稳态模态）。然而，Koopman 算子的解析计算面临两大核心挑战：

1. 高维空间不可达：Koopman 算子定义在无限维函数空间中，无法直接通过数学公式解析求解特征对，尤其对强非线性系统（如混沌系统、耦合系统），传统线性化方法（如泰勒展开）完全失效；

1. 非线性系统适配难：实际工程中的非线性系统（如流体运动、化学反应、多智能体协同）往往缺乏精确数学模型，仅能通过传感器获取离散状态数据，解析方法无从下手；

1. 计算复杂度高：即便通过核方法、深度学习等技术将 Koopman 算子离散化，高维矩阵的特征分解仍面临 “维度灾难”（如 1000 维矩阵特征分解耗时超小时级）。

动态模式分解（Dynamic Mode Decomposition, DMD）作为一种数据驱动的线性模态提取算法，无需系统数学模型，仅通过离散状态数据即可逼近 Koopman 算子的特征对，兼具 “计算效率高（线性复杂度）、适配非线性系统、结果可解释性强” 的优势，成为当前计算 Koopman 特征对的主流工程方法。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

';  % taking x as observable

% make the Hankel matrix

c = x(1:n).';

r = x(n:n+m-1);

H = hankel(c,r).';

[U,S,V]=svd(H/sqrt(m),0);

disp('first six singular values')

diag(S(1:6,1:6))    % check out how they vary with changing m

%% POD basis as colorfield on the attractor

set(0,'defaultTextInterpreter','latex', ...

    'defaultLegendInterpreter','latex', ...

    'defaultAxesTickLabelInterpreter','latex');

tdata = tspan(ntr+(1:m));

xc = x(1:m);

yc = X(ntr + (1:m),2)';

zc = X(ntr + (1:m),3)';

figure(122),clf

for im = 1:6

        col = U(:,im)';

        subplot(2,3,im)

        surface([xc;xc],[yc;yc],[zc;zc],[col;col],...

            'facecol','no',...

            'edgecol','interp',...

            'linew',2);

        colormap('jet')

    box on

    set(gca,'xtick',[],'ytick',[],'ztick',[])

    colorbar

    max(col);

    view(-6,13)

    title(['$\tilde \psi_',num2str(im),'$'],'FontSize',14)

end

    xlabel('$z_1$')%,ylabel('y'),

    zlabel('$z_3$')

    set(gcf,'Position',[100 100 1044 450])

%% principal coordinates

figure(21),clf

plot(1:n,V(:,1:6))

xlabel('$i$')

xlim([1 100])

legend({'$v_1$','$v_2$','$v_3$','$v_4$','$v_5$','$v_6$'},'interpreter','latex','FontSize',14)

🔗 参考文献

https://arxiv.org/pdf/1611.06664.pdf

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2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

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2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

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2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

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