【机械】基于MATLAB的板线性与非线性弯曲有限元分析

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🔥 内容介绍

摘要： 本文探讨了基于MATLAB平台对板结构进行线性与非线性弯曲有限元分析的方法。有限元法作为一种强大的数值分析工具，被广泛应用于工程领域，尤其是在复杂结构力学分析中。本文首先介绍了板弯曲问题的基本理论，包括Kirchhoff薄板理论和Reissner-Mindlin厚板理论。随后，详细阐述了基于MATLAB进行有限元离散化、刚度矩阵组装、边界条件施加以及求解过程的具体步骤。重点讨论了线性与非线性有限元分析的区别，以及非线性分析中几何非线性问题的处理方法，包括Lagrange描述和更新的Lagrange描述。最后，通过几个典型的算例，验证了基于MATLAB的有限元分析方法在板弯曲问题中的有效性和准确性，并探讨了其局限性和改进方向。

关键词： 有限元分析；MATLAB；板弯曲；线性分析；非线性分析；几何非线性；Lagrange描述

1. 引言

在现代工程结构中，板结构作为一种重要的承载元件，被广泛应用于航空航天、土木工程、机械工程等领域。例如，飞机机翼、桥面板、船舶船体等都属于板结构。板结构的力学性能直接影响到整个结构的安全性和可靠性。因此，对板结构进行准确的力学分析至关重要。

有限元法（Finite Element Method, FEM）作为一种强大的数值分析工具，可以通过将连续体离散为有限个单元，从而将复杂的偏微分方程转化为代数方程组进行求解。与传统的解析方法相比，有限元法能够处理具有复杂几何形状、复杂边界条件以及复杂载荷的结构问题。MATLAB作为一种强大的科学计算软件，具有丰富的函数库和友好的用户界面，为有限元分析提供了便捷的平台。

本文旨在探讨基于MATLAB平台对板结构进行线性与非线性弯曲有限元分析的方法。通过深入理解板弯曲问题的基本理论，并结合MATLAB强大的数值计算能力，可以为工程设计人员提供一种有效的工具，用于分析板结构的力学性能，从而优化结构设计，提高结构的安全性和可靠性。

2. 板弯曲理论基础

板弯曲理论是板结构力学分析的基础。根据板的厚度与平面尺寸之比，可以将板分为薄板和厚板。不同的板类型采用不同的理论进行分析。

2.1 Kirchhoff薄板理论

Kirchhoff薄板理论是一种经典的薄板弯曲理论，它基于以下假设：

• 板的厚度远小于其平面尺寸；

• 垂直于中面的直线在变形后仍然保持直线并垂直于变形后的中面；

• 板内无正应力。

基于上述假设，可以推导出薄板弯曲的控制方程，即四阶偏微分方程：

D∇⁴w = q

其中，D为板的弯曲刚度，w为板的挠度，q为板上的均布载荷，∇⁴为双调和算子。

2.2 Reissner-Mindlin厚板理论

Reissner-Mindlin厚板理论考虑了横向剪切变形的影响，更适合于分析较厚的板。该理论不再假设垂直于中面的直线在变形后仍然保持垂直于变形后的中面。

Reissner-Mindlin厚板理论引入了两个独立的变量，即挠度w和转角θx、θy。该理论的控制方程为：

• 剪切力平衡方程： ∂Qx/∂x + ∂Qy/∂y + q = 0

• 弯矩平衡方程： ∂Mx/∂x + ∂Mxy/∂y - Qx = 0

• 弯矩平衡方程： ∂Mxy/∂x + ∂My/∂y - Qy = 0

其中，Mx、My、Mxy分别为弯矩和扭矩，Qx、Qy分别为剪切力。

3. 基于MATLAB的线性有限元分析

3.1 有限元离散化

有限元分析的第一步是将连续的板结构离散成有限个单元。常用的板单元包括四边形单元和三角形单元。本文以四边形单元为例进行说明。

四边形单元通常采用双线性插值函数对单元内的位移进行插值：

w(x,y) = N₁w₁ + N₂w₂ + N₃w₃ + N₄w₄

其中，w(x,y)为单元内任意点的挠度，w₁, w₂, w₃, w₄为单元四个节点的挠度，N₁, N₂, N₃, N₄为形函数。

3.2 刚度矩阵组装

根据虚功原理或最小势能原理，可以推导出单元刚度矩阵。单元刚度矩阵描述了单元内部节点力与节点位移之间的关系。

对于薄板单元，单元刚度矩阵的推导较为复杂，需要计算形函数的二阶偏导数。对于厚板单元，由于引入了转角变量，单元刚度矩阵的推导相对简单。

将所有单元的刚度矩阵组装成总刚度矩阵，总刚度矩阵描述了整个结构节点力与节点位移之间的关系。

3.3 边界条件施加

边界条件是有限元分析的重要组成部分。常见的边界条件包括：

• 固定边界：约束节点的位移和转角；

• 简支边界：约束节点的位移；

• 自由边界：节点不受约束。

在MATLAB中，可以通过修改总刚度矩阵和载荷向量来施加边界条件。

3.4 求解方程

将边界条件施加到总刚度矩阵和载荷向量后，可以得到如下的代数方程组：

KU = F

其中，K为总刚度矩阵，U为节点位移向量，F为节点力向量。

利用MATLAB的线性方程组求解器，例如\运算符或linsolve函数，可以求解得到节点位移向量U。

3.5 后处理

得到节点位移后，可以计算单元内部的应力、应变等力学量。这些结果可以用于评估结构的安全性和可靠性。MATLAB提供了丰富的绘图功能，可以将分析结果可视化，方便用户进行分析和判断。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 德 卡坦 P.I,德 Kattan P.I.MATLAB有限元分析与应用[M].清华大学出版社,2004.

[2] P. I. Kattan,韩来彬.MATLAB有限元分析与应用[M].清华大学出版社,2004.

[3] 杜丽艳,陈建华.基于Matlab的均布荷载作用下矩形薄板的有限元分析[J].重庆理工大学学报, 2009, 23(1):32-35.DOI:10.3969/j.issn.1674-8425-B.2009.01.008.

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