【电磁】通过Mie级数计算导电（PEC）和分层介电球体的散射场Matlab代码

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🔥 内容介绍

电磁散射理论在光学、雷达、通信以及生物医学成像等诸多领域扮演着至关重要的角色。当电磁波与尺寸与波长相当的颗粒相互作用时，传统的瑞利散射理论不再适用，而需要更为精确的散射模型。Mie散射理论，由德国物理学家Gustav Mie于1908年提出，为求解均匀球体的电磁散射问题提供了一个精确的解析解。本文将重点探讨基于Mie级数的导电（PEC）和分层介电球体的散射场计算方法，深入剖析其理论基础、计算过程以及在实际应用中的意义。

一、Mie散射理论的数学基础

Mie散射理论的核心在于将入射电磁波、散射电磁波以及球体内部的电磁场分解为一系列球谐函数的线性组合。球谐函数是拉普拉斯方程在球坐标系下的解，它们构成了一组完备的正交基，可以有效地描述球形区域内的电磁场分布。

具体而言，在球坐标系(r, θ, φ)中，电磁场可以表示为以下形式：

• 入射场:

   E_inc, H_inc (已知的电磁波)

• 散射场:

   E_s, H_s (待求解的电磁波)

• 内部场:

   E_int, H_int (球体内部的电磁波)

Mie理论的关键在于寻找合适的展开系数，使得这些电磁场满足麦克斯韦方程组以及边界条件。边界条件要求在球体表面，切向电场和磁场连续，即：

• E_inc + E_s = E_int (在r = a处)
• H_inc + H_s = H_int (在r = a处)

其中a为球体半径。通过将电磁场展开为球谐函数的形式，并将边界条件代入，可以得到关于展开系数的线性方程组。求解这些方程组，即可得到散射场和内部场的展开系数，从而完全确定了电磁场的分布。

在标准的Mie理论中，散射场通常表示为无限级数的形式：

E_s = Σ [a_n M⁽³⁾_on - ib_n N⁽³⁾_en]
H_s = (k/ωμ) Σ [b_n M⁽³⁾_en + ia_n N⁽³⁾_on]

其中：

• a_n 和 b_n 是 Mie散射系数，代表着散射场中电偶极子和磁偶极子的贡献。

• M⁽³⁾_on 和 N⁽³⁾_en 是矢量球谐函数，下标 "o" 和 "e" 分别代表奇对称和偶对称，上标 "(3)" 表示使用汉克尔函数作为径向部分。

• k 是波数 (k = 2π/λ)，λ 是波长。

• ω 是角频率。

• μ 是介质的磁导率。

Mie散射系数 a_n 和 b_n 的计算取决于球体的材料特性，对于不同的球体类型，其表达式也不同。

二、导电（PEC）球体的散射场计算

对于理想电导体（Perfect Electric Conductor，PEC）球体，球体内部的电磁场为零。因此，边界条件简化为：

• E_inc + E_s = 0 (在r = a处)
• n × (H_inc + H_s) = 0 (在r = a处)

其中 n 是球体表面的单位法向量。

利用这些边界条件，可以推导出PEC球体的Mie散射系数：

• a_n = j_n(ka) / h_n⁽²⁾(ka)

• b_n = j'_n(ka) / h'_n⁽²⁾(ka)

其中：

• j_n(x) 是第一类球贝塞尔函数。

• h_n⁽²⁾(x) 是第二类球汉克尔函数。

• j'_n(x) 和 h'_n⁽²⁾(x) 分别是对应函数的导数。

可以看到，PEC球体的Mie散射系数只依赖于球体半径a和波数k。计算过程相对简单，不需要考虑球体内部的电磁场。

三、分层介电球体的散射场计算

分层介电球体是指由多层具有不同介电常数的同心球壳组成的球体。这种结构在实际应用中非常常见，例如，胶体粒子包覆着另一层不同材料的薄膜，或者生物细胞内部具有复杂的结构。

对于分层介电球体，需要在每个界面上应用边界条件，确保电场和磁场的切向分量连续。假设球体由N层介电材料组成，那么需要在N-1个界面上应用边界条件。

分层介电球体的散射场计算过程更加复杂，需要递归地计算每一层的Mie散射系数。首先，从最内层开始，计算其散射场。然后，将内层的散射场作为外层的入射场，继续计算外层的散射场。这个过程一直重复，直到到达最外层，得到整个分层球体的散射场。

分层介电球体的Mie散射系数的表达式也更加复杂，通常需要使用矩阵的形式表示。对于两层介电球体，其Mie散射系数可以表示为：

a_n = [ψ_n(ka₁)ψ'_n(m₁ka₁) - m₁ψ'_n(ka₁)ψ_n(m₁ka₁)] * [χ_n(ka₁)ψ'_n(m₁ka₁) - m₁χ'_n(ka₁)ψ_n(m₁ka₁)]^-1

b_n = [m₁ψ_n(ka₁)ψ'_n(m₁ka₁) - ψ'_n(ka₁)ψ_n(m₁ka₁)] * [m₁χ_n(ka₁)ψ'_n(m₁ka₁) - χ'_n(ka₁)ψ_n(m₁ka₁)]^-1

其中：

• a₁ 是内层球的半径。

• m₁ 是内层球的相对折射率 (相对于外层介质)。

• ψ_n(x) 和 χ_n(x) 分别是球贝塞尔函数和球诺伊曼函数。

• ψ'_n(x) 和 χ'_n(x) 分别是对应函数的导数。

更复杂的多层介电球体的Mie散射系数的计算需要更复杂的矩阵运算，通常需要借助计算机进行数值求解。

四、Mie散射理论的应用

Mie散射理论在各个领域都有广泛的应用，例如：

• 大气光学:

   用于研究大气中气溶胶和云对光线的散射，从而预测天气和气候变化。

• 胶体科学:

   用于研究胶体粒子的散射特性，从而控制胶体溶液的稳定性。

• 生物医学成像:

   用于开发新的生物医学成像技术，例如光声成像和光学相干断层扫描。

• 材料科学:

   用于表征材料的微观结构，例如粒径分布和折射率。

• 雷达:

   用于目标识别和跟踪。通过分析雷达的回波信号，可以推断出目标的形状、大小和材料特性。

五、Mie散射理论的局限性与拓展

Mie散射理论虽然强大，但也有其局限性。它只适用于球形或球对称的颗粒。对于非球形颗粒，需要使用其他散射理论，例如T矩阵法、有限元法等。

为了克服Mie散射理论的局限性，研究人员提出了许多改进和拓展方法。例如，扩展边界条件法（Extended Boundary Condition Method，EBCM）可以将Mie散射理论应用于旋转椭球体等非球形颗粒。离散偶极子近似法（Discrete Dipole Approximation，DDA）则可以将任意形状的颗粒离散成许多小偶极子，然后通过求解偶极子之间的相互作用来计算散射场。

六、结论

Mie散射理论是电磁散射理论中的一个重要组成部分，它为求解球形颗粒的电磁散射问题提供了一个精确的解析解。通过理解Mie散射理论的数学基础，掌握导电球体和分层介电球体的散射场计算方法，可以更好地理解和应用电磁散射现象，并开发新的技术和应用。尽管Mie散射理论存在一些局限性，但通过不断改进和拓展，它仍然在各个领域发挥着重要的作用。未来的研究方向将集中在开发更高效、更精确的散射计算方法，以适应更复杂、更现实的应用场景。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 袁易君,任德明,胡孝勇.Mie理论递推公式计算散射相位函数[J].光散射学报, 2005, 17(4):6.DOI:10.3969/j.issn.1004-5929.2005.04.011.

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