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🔥 内容介绍
本文探讨了一种基于粒子平流和速度场传播的数值方法，用于模拟不可压缩流体流动。该方法将流体离散为一系列粒子，通过速度场对粒子进行平流，并利用速度场传播模型描述粒子间的相互作用。为了保证粒子运动的精度，我们采用四阶龙格-库塔(Runge-Kutta)方法对粒子的运动轨迹进行积分。为了满足不可压缩性约束，我们在每个时间步求解压力泊松方程，并通过雅可比迭代法进行求解。本文详细阐述了该方法的原理、算法流程，并讨论了其在流体模拟中的应用。
1. 引言
流体流动模拟在科学研究和工程应用中扮演着至关重要的角色。从航空航天工程到医学领域，准确模拟流体行为对于产品设计、过程优化以及科学发现都具有重要意义。近年来，计算流体力学(Computational Fluid Dynamics, CFD)发展迅速，涌现出多种数值方法用于流体模拟。其中，基于网格的方法，如有限体积法和有限元法，是应用最为广泛的。然而，这些方法在处理复杂几何形状、大变形流动以及多相流时面临诸多挑战。
另一方面，无网格方法（Meshfree methods）逐渐受到重视，因为它在处理上述问题时具有一定的优势。其中，基于粒子的方法，如光滑粒子流体动力学(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)，是一种代表性的无网格方法。SPH通过一系列粒子来离散流体，每个粒子携带质量、速度和压力等信息，通过粒子间的相互作用来模拟流体的宏观行为。虽然SPH方法具有易于实现和处理复杂边界的优点，但在精度和效率方面仍存在一些不足。
本文提出一种基于粒子平流和速度场传播的数值方法，旨在改进传统SPH方法的精度和效率。该方法的核心思想是利用速度场对粒子进行平流，并利用速度场传播模型描述粒子间的相互作用。为了保证粒子运动的精度，我们采用四阶龙格-库塔方法对粒子的运动轨迹进行积分。为了满足不可压缩性约束，我们在每个时间步求解压力泊松方程，并通过雅可比迭代法进行求解。
2. 理论基础
2.1 不可压缩Navier-Stokes方程
不可压缩流体的运动由Navier-Stokes方程控制，其连续性方程和动量方程可以表示为：
∇ ⋅ u = 0 (1)
∂u/∂t + (u ⋅ ∇)u = - (1/ρ)∇p + ν∇²u + f (2)
其中，u是速度矢量，p是压力，ρ是密度，ν是运动粘度，f是体积力。公式(1)表示不可压缩性约束，公式(2)描述了流体动量的守恒。
2.2 粒子平流与速度场传播
本文提出的方法将流体离散为一系列粒子，每个粒子具有位置x<sub>i</sub>，速度u<sub>i</sub>，质量m<sub>i</sub>和密度ρ<sub>i</sub>等属性。粒子的运动遵循以下平流方程：
dx<sub>i</sub>/dt = u<sub>i</sub> (3)
速度场传播模型描述了粒子间的相互作用，其基本思想是每个粒子会影响周围粒子的速度。具体来说，粒子的速度变化可以表示为周围粒子影响的加权和：
du<sub>i</sub>/dt = Σ<sub>j</sub> W(‖x<sub>i</sub> - x<sub>j</sub>‖)(u<sub>j</sub> - u<sub>i</sub>) (4)
其中，W(r)是一个权重函数，通常选择径向对称的核函数，例如高斯核函数或三次样条核函数。
2.3 压力泊松方程
为了满足不可压缩性约束（公式1），我们需要在每个时间步求解压力泊松方程：
∇²p = -ρ∇ ⋅ (u ⋅ ∇)u (5)
该方程表示压力的拉普拉斯算子等于动量方程中对流项的散度。通过求解该方程，我们可以得到压力分布，并将其用于校正粒子的速度，从而保证流体的不可压缩性。
3. 数值方法
3.1 四阶龙格-库塔方法
为了保证粒子运动的精度，我们采用四阶龙格-库塔(RK4)方法对粒子的运动轨迹进行积分。RK4方法的步骤如下：
-
k<sub>1</sub> = f(t<sub>n</sub>, y<sub>n</sub>)
-
k<sub>2</sub> = f(t<sub>n</sub> + h/2, y<sub>n</sub> + (h/2)k<sub>1</sub>)
-
k<sub>3</sub> = f(t<sub>n</sub> + h/2, y<sub>n</sub> + (h/2)k<sub>2</sub>)
-
k<sub>4</sub> = f(t<sub>n</sub> + h, y<sub>n</sub> + hk<sub>3</sub>)
-
y<sub>n+1</sub> = y<sub>n</sub> + (h/6)(k<sub>1</sub> + 2k<sub>2</sub> + 2k<sub>3</sub> + k<sub>4</sub>)
其中，y表示位置或速度，f表示相应的微分方程，h是时间步长。
3.2 雅可比迭代法
为了求解压力泊松方程（公式5），我们采用雅可比迭代法。雅可比迭代法是一种迭代求解线性方程组的经典方法。对于离散化的压力泊松方程，雅可比迭代法的更新公式为：
p<sub>i,j</sub><sup>k+1</sup> = (1/4)(p<sub>i+1,j</sub><sup>k</sup> + p<sub>i-1,j</sub><sup>k</sup> + p<sub>i,j+1</sub><sup>k</sup> + p<sub>i,j-1</sub><sup>k</sup>) + (h²/4)b<sub>i,j</sub> (6)
其中，p<sub>i,j</sub>表示网格点(i,j)处的压力，k是迭代次数，h是网格间距，b<sub>i,j</sub>是压力泊松方程的右端项，即-ρ∇ ⋅ (u ⋅ ∇)u的离散形式。迭代过程持续进行，直到满足收敛条件为止，例如相邻两次迭代的残差小于某个阈值。
3.3 算法流程
该方法的基本算法流程如下：
-
初始化: 初始化粒子的位置、速度、质量和密度等属性。
-
计算密度: 根据粒子的位置，利用核函数计算每个粒子的密度。
-
计算速度变化: 根据速度场传播模型，计算每个粒子的速度变化。
-
龙格-库塔四阶积分: 利用四阶龙格-库塔方法对粒子的位置和速度进行更新。
-
求解压力泊松方程: 根据更新后的速度，计算压力泊松方程的右端项，并使用雅可比迭代法求解压力分布。
-
速度校正: 利用压力梯度校正粒子的速度，以保证不可压缩性。
-
更新时间步: 将时间步增加一个步长，重复步骤2-6，直到模拟结束。
4. 结果与讨论
该方法已应用于模拟多种不可压缩流体流动现象，包括：
-
溃坝问题: 模拟水坝突然溃决后，水流的传播过程。该模拟能够准确捕捉水流的自由表面和流动形态。
-
圆柱绕流: 模拟流体绕过圆柱的流动，并观察卡门涡街的形成。该模拟能够验证方法在处理复杂流动方面的能力。
-
多相流: 模拟油水混合物的流动，并观察两相界面的演化。
通过与实验结果和其它数值方法的比较，验证了该方法的精度和可靠性。结果表明，该方法能够有效地模拟不可压缩流体的流动，并具有较高的计算效率。
5. 结论
本文提出了一种基于粒子平流和速度场传播的数值方法，用于模拟不可压缩流体流动。该方法采用四阶龙格-库塔方法进行粒子运动，并使用雅可比迭代法求解压力泊松方程。结果表明，该方法能够有效地模拟不可压缩流体的流动，并具有较高的计算效率。未来的研究方向包括：
-
改进速度场传播模型: 研究更精确的速度场传播模型，以提高模拟的精度。
-
加速压力泊松方程求解: 探索更高效的求解压力泊松方程的方法，例如多重网格法或共轭梯度法。
-
拓展应用领域: 将该方法应用于更广泛的流体流动问题，例如多相流、湍流以及复杂几何形状的流动。
⛳️ 运行结果
🔗 参考文献
[1] 李广望,任安禄,陈文曲.ALE方法求解圆柱的涡致振动[J].空气动力学学报, 2004, 022(003):283-288.
[2] 李广望,任安禄,陈文曲.ALE方法求解圆柱的涡致振动[J].空气动力学学报, 2004, 22(3):6.DOI:CNKI:SUN:KQDX.0.2004-03-008.
📣 部分代码
% Define the geometry for the simulation, specifically the shape of the foil (SG6043) and initialize simulation parameters.% Declare the shape of the foil, represented by its X-Y coordinates (SG6043 airfoil)global_foil=[1.000000 .000000.998105 .000656.992735 .002712.984387 .006072.973434 .010465.960071 .015523.944288 .020916.925966 .026547.905161 .032475.882072 .038683.856884 .045099.829794 .051648.801008 .058240.770741 .064777.739215 .071138.706663 .077173.673195 .082684.638892 .087606.603962 .091903.568537 .095505.532761 .098415.496847 .100592.460955 .102010.425276 .102690.389995 .102599.355272 .101752.321306 .100174.288269 .097880.256330 .094905.225671 .091274.196447 .087021.168817 .082199.142926 .076839.118895 .070995.096866 .064730.076936 .058094.059198 .051170.043757 .043981.030622 .036590.019828 .029159.011416 .021706.005277 .014355.001496 .007410.000024 .000942.000588 -.004677.003930 -.008595.010772 -.011195.020868 -.013164.034086 -.014302.050504 -.014598.070145 -.014215.092915 -.013293.118637 -.011970.147117 -.010343.178147 -.008477.211498 -.006446.246927 -.004303.284172 -.002104.322960 .000114.363008 .002319.404014 .004498.445705 .006689.487849 .008933.530290 .011167.572862 .013270.615252 .015037.657041 .016351.697849 .017212.737347 .017604.775201 .017514.811085 .016945.844678 .015916.875671 .014467.903773 .012654.928712 .010558.950241 .008276.968141 .005908.982146 .003613.992088 .001700.998026 .000453.999999 .000000];
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🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维
2.1 bp时序、回归预测和分类
2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类
2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类
2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类
2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类
2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类
2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类
2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类
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2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测
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