《数学规划模型建立与计算机应用》系列：劳力规划问题

例子来源于《数学规划模型建立与计算机应用》(第三版)[英]H.P.威廉斯中问题部分的题目。

劳力规划

某公司要进行若干改革，这些改革将影响今后若干年的劳力需要量。由于工厂安装了新机器，需要少数非熟练工人，但更需要半熟练工人和熟练工人。此外，预计明年生产要下降，将减少各类工人的需要量。估计今后三年对劳力的需求是：

	非熟练工	半熟练工	熟练工
当前劳力	2000	1500	1000
第一年	1000	1400	1000
第二年	500	2000	1500
第三年	0	2500	2000

公司希望制定今后三年对下述各项任务的方针：（1）招工；（2）培训；（3）过剩人员；（4）短期工作。这里包括劳动力的自然损耗。有相当多的工人在第一年就要离开公司。过了这年，离开公司的人数就会少很多。把这些计算在内，可取如下损耗率：

	非熟练工	半熟练工	熟练工
工作一年以下	25%	20%	10%
工作一年以上	10%	5%	5%

其中没有新近招来的非熟练工，且在当前的劳动力中，所有工人都工作一年以上。

招工

可能从外界招收一定数量的工人。每一年能招收各类工人的数量是

单位：人

非熟练工	半熟练工	熟练工
500	800	500

培训

每年至多能够培训200名非熟练工使之达到熟练工的技术水平。每人的培训费用是400镑。培训半熟练工达到熟练工水平，其人数不超过熟练工人数的四分之一，因为在这段时间内其他培训也正在进行之中。按该方式培训半熟练工，每人的培训费用是500镑。

有些工人可能要降级，而其中的50%要离开公司，尽管公司不需要付给任何费用。（这个损耗应加到上面说的“自然损耗”内。）

过剩人员

全公司的外雇工人数有可能比需要的多150名，这些工人每人每年的额外开支如下：

单位：镑

非熟练工	半熟练工	熟练工
1500	2000	3000

短期工作

可投入短期工作的各类熟练程度的工人至多不超过50人。每人每年开支如下：

单位：镑

非熟练工	半熟练工	熟练工
500	400	400

短期工作的工人，在满足生产要求上只是正式工人的一半。

公司的目标是要使过剩人员减至最少。为此，公司应该怎样办？

如果公司的方针是使费用最低，可节省多少额外人员？请推断每年各类工作节省的开支。

!LINGO代码; !劳力规划 maxzhao -- 最大招工量 curlao -- 当前劳力人数 xu -- 今后三年的需求量 ; data: ntypes=3; enddata sets: years/1..3/; !工人类型，顺次为非熟练工、半熟练工、熟练工; types/1..3/: maxzhao,curlao,sunrate1,sunrate2,maxduan,guocost,chaocost,duancost; table1(years,types): lao,zhao,guo,duan,chao, xu; demotetypes(types,types) | &1 #gt# &2:; !降级类型; table2(years,demotetypes): jiang; traintypes(types,types)|&2-&1 #eq# 1: traincost; !培训类型; table3(years,traintypes): pei; endsets data: maxzhao = 500 800 500; maxduan = 50; curlao = 2000 1500 1000; sunrate1 = 0.25 0.2 0.1; sunrate2 = 0.1 0.05 0.05; guocost = 200 500 500; chaocost = 1500 2000 3000; duancost = 500 400 400; traincost = 400 500; xu = 1000 1400 1000 500 2000 1500 0 2500 2000; enddata !连续性; @for(table1(I,J) | I #eq# 1: lao(I,J) = (1-sunrate2(J))*curlao(J) + !上一年劳力; (1-sunrate1(J))*zhao(I,J) + !招工; !培训; (1-sunrate2(J))* @sum(table3(I1,J1,J2)| I1#eq#I #and# J1#lt#J #and# J2#eq#J:pei(I1,J1,J2)) -!得; @sum(table3(I1,J1,J2)| I1#eq#I #and# J1#eq#J #and# J2#gt#J: pei(I1,J1,J2)) !失; + !降级; 0.5*@sum(table2(I1,J1,J2)|I1#eq#I #and# J2#eq#J: jiang(I1,J1,J2))- !得; @sum(table2(I1,J1,J2)|I1#eq#I #and# J1#eq#J: jiang(I1,J1,J2)) - !失; guo(I,J); !过剩; ); @for(table1(I,J) | I #gt# 1: lao(I,J) = (1-sunrate2(J))*lao(I-1,J) + !上一年劳力; (1-sunrate1(J))*zhao(I,J) + !招工; !培训; (1-sunrate2(J))* @sum(table3(I1,J1,J2)| I1#eq#I #and# J1#lt#J #and# J2#eq#J:pei(I1,J1,J2)) -!得; @sum(table3(I1,J1,J2)| I1#eq#I #and# J1#eq#J #and# J2#gt#J: pei(I1,J1,J2)) !失; + !降级; 0.5*@sum(table2(I1,J1,J2)|I1#eq#I #and# J2#eq#J: jiang(I1,J1,J2))- !得; @sum(table2(I1,J1,J2)|I1#eq#I #and# J1#eq#J: jiang(I1,J1,J2)) !失; - guo(I,J); !过剩; ); @for(table3(I,J1,J2)|J2#eq#ntypes: pei(I,J1,J2)<=0.25*lao(I,ntypes); ); !培训半熟练工人; @for(table3(I,J1,J2)|J1#eq#1: pei(I,J1,J2)<=200;); !培训非熟练工人; @for(years(I): @sum(types(J): chao(I,J))<=150; !超编; @for(types(J): lao(I,J)-chao(I,J)-0.5*duan(I,J)=xu(I,J);!需要量; !一些变量的上界约束; zhao(I,J)<=maxzhao(J); !招工; duan(I,J)<=maxduan(J); !短期工作; ); ); ![obj1]min=@sum(table1: guo); [obj2]min=@sum(table3(I,J1,J2): pei(I,J1,J2)*traincost(J1,J2))+ @sum(table1(I,J): guo(I,J)*guocost(J)+chao(I,J)*chaocost(J)+ duan(I,J)*duancost(J)); !培训费，过剩费，超编费，短期工作费;