厦门科技馆摆木块问题

转载自 数学345 厦门科技馆摆木块问题 。

这是前几年的随笔，分享下。一家人带着不到三岁的女儿在厦门科技馆玩耍。 在科技馆玩了一天，最后一个项目是女儿自己进入和小朋友们一起玩，大人在外面等候。

在等的时候，我看见一个10岁左右的女孩在一张大桌子上摆弄木块，看她推来推去，拆来拆去，始终不能把桌子上的木块刚好填满木框。我凑近一看，这个桌子有个$10\times 10$的木框，大致如下图。现在有很多$4\times 1$ 的长方形小木块，任意一个小木块只能横放或竖放，且不能和其他小木块重叠，请小朋友试试看能否填满 $10\times 10$的木框。

我当时想了一会，也没想出来。后面想了下，从上到下面，对于第1行来说，竖放的小木块数目只能是2、6、10，假设是2 块，那么第2行新增的竖放的小木块数目只能是0，或6-2=4，或10-2=8。从中不难看出，由于2,6,10 之间的差必定是偶数，无论上一行竖放的小木块数目是多少，下一行新增竖放的小木块数目必定也是偶数，所以竖放的小木块总数目必定是偶数。

因此无论怎么放，竖放的小木块总数目只能是偶数。而且我们知道要填满的话，恰好需要 100/4=25个小木块。

假设可以填满，按上面所说，竖放的总数只能是偶数，因此横放的总数只能是奇数。注意到木框 $10\times 10$是一个正方形，具有非常好的对称性。也就是旋转90度后，横的小木块就变成竖的了，竖的变成横的，这就会导致旋转后竖放的小木块总数是奇数，矛盾。所以是无法填满的。

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