求正整数中第K个二制中不含11的数

描述很简单：把所有的正整数从小到大都转化成二进制串，求第K(K<900000000)个不含11子串的二制串。如：1，2，3，4，5的二进制串为1，10，11，100，101，故前四个满足条件的串分别为1，10，100，101。

首先最想知道的就是第K个满足上述条件的串有多少位？1位的串有1个，2位的串有1个，3位的中有2个……其实我们发现可以构造出来。对于长度为N的串，对于这些串如果尾数为0，那么在后面增加0，1都可以；如果尾数为1，那么就只能增加0。这样就包含了所有的满足条件的长度为N+1的串。下面给出简单的证明：

由于N+1长的串是满足条件的，必然所有的N+1长的串的前N个字符组成的子串必然要满足条件，故前N个字符的子串的形式必定有所有长为N的串。得到了所有长为N+1串的前N个字符的串，只能在后面增加0或1，对于串尾为0，增加0，1后满足条件，对于串尾为1，必然只能增加0。故得证。如下图所示：

 

这样通过动态规划就可以求得长度为N的串一共有多少个，于是也就求得第K个满足条件的串的长度为多少。

然而这样还不够，我们只是知道了这样的串长为多少，我们并不知道这样的串是什么。那么怎么样得生成我们需要的串呢？如需求第7个满足条件的串的是多少。首先可以得到长度为4（从上图可看出来）。比4小的串有多少个呢？1，10，100，101，又可以得到第7个满足条件的串必然在长度为4的串中排第三（1000，1001，1010）。那么长度为4排第三的串又是多少呢？0,1,10……这样往下我们发现，问题转化为更小的，第2个满足条件的串是多少……以些类推，最终就可以求得解。