6、关于 σ-完全一致超滤器的研究

关于 σ-完全一致超滤器的研究

1. 引言

在集合论的研究中，超滤器是一个重要的概念，特别是 σ - 完全一致超滤器。本文将探讨不同条件下 σ - 完全一致超滤器的构造和性质，包括其在不同基数上的存在性、扩展以及相关的力迫构造等内容。

2. 超滤器的扩展与构造

2.1 基本扩展构造

首先，我们从一个基本的构造开始。给定一些超滤器，通过特定的操作可以将其扩展为具有不同完备程度的超滤器。例如，设 κ < λ 是两个可测基数，且 κ 是可测基数的极限。在一定条件下，可以得到一个保持共尾性的泛型扩张，满足以下性质：
1. 广义连续统假设（GCH）成立。
2. λ 不再是可测基数。
3. 存在一个关于 λ 的一致 κ - 完全超滤器，并且每个在原模型 V 中关于 λ 的正规超滤器 U 都可以扩展为关于 λ 的一致 κ - 完全超滤器。
4. 对于每个 δ < κ，存在 δ′，满足 δ ≤ δ′ < κ，并且存在一个关于 λ 的一致 δ′ - 完全超滤器，同样每个在原模型 V 中关于 λ 的正规超滤器 U 都可以扩展为关于 λ 的一致 δ′ - 完全超滤器。

其构造过程如下：
- 固定一些正规超滤器 V 作用于 κ，U 作用于 λ，以及对于每个 δ < κ 的正规超滤器 Vδ 作用于 δ。
- 首先迭代 Cohen 力迫，为每个不可达基数 α（α ≤ κ）添加函数 fα : α → α。此时，上述每个超滤器都可以扩展为正规超滤器。
- 对于每个可测的 δ ≤ κ，定义 V 的扩展 V(δ)。选取 V(κ) 为扩展 V 的正规超滤器。对于每个可测的 δ