42、旅行打包问题的混合整数规划解决方案

旅行打包问题的混合整数规划解决方案

1. 问题概述

在旅行打包问题中，我们考虑两个版本：有约束的 NKPc 和无约束的 NKPu。对于 NKPu，我们设置 $W \geq \sum_{e_{ik} \in M} w_{ik}$，使得物品的每一种选择都能产生可行解。给定一个实值 $B$，NKPc 和 NKPu 的决策变体需要回答目标函数值是否至少为 $B$。

2. 问题复杂度

NKPc 是 NP - 难问题，因为它是经典 NP - 难的 0 - 1 背包问题的推广。我们证明了无约束版本 NKPu 也是 NP - 难的，通过将 NP - 完全的子集和问题（SSP）归约到 NKPu 的决策变体。

定理 1 ：NKPu 是 NP - 难的。
证明 ：
- 将 SSP 归约到 NKPu 的决策变体，即是否存在目标值至少为 $B$ 的解。
- 把 SSP 的实例编码为有两个城市的 NKPu 实例 $I$。第一个城市有 $q$ 个物品，第二个城市是无物品的目的地。
- 设置两城市距离 $d_1 = 1$，$p_{1k} = w_{1k} = s_k$，$1 \leq k \leq q$，$W = \sum_{k = 1}^{q} s_k$。
- 令 $\upsilon_{max} = 2$，$\upsilon_{min} = 1$，则 $\nu = 1/W$，定义 $R^ = W(2 - Q/W)^2$。
- 考虑非线性函数 $f_{R^ }(w) = w - \frac{R^ }{2 - w/W}$，它