动态规划之背包问题

Dream.Luffy

已于 2022-07-26 22:06:53 修改

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分类专栏：动态规划文章标签：动态规划算法数据结构蓝桥杯 c++

于 2022-07-26 10:42:46 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_64226820/article/details/125975331

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前言：

动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程。

动态规划具备三个特点：

1.将原来的问题分解成几个相似的子问题;

2.所有的子问题都只需要解决一次

3.每个状态存储子问题的解

一般从三个角度考虑动态规划：

1.状态表示:

2.状态计算 - > 集合的划分

3.状态初始化

集合的划分依据，需要满足两个条件

1. 以最后一个改变的元素为依据。

2. 集合中应包含所有的方案。

而动态规划问题一般可以分为线性DP，背包问题，区间DP，计数类DP，数位统计DP，状态压缩DP，树形DP，背包问题是大头，也是我们这章的重点。

全文共12499字

正文：

一.背包问题都以01背包为基础

我们以01背包问题为引子：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。问最多能装入背包的总价值是多大?

状态表示：所有只从前i个物品中选，总体积不超过j的方案集合；

集合划分：

初始化：第0行和第0列都为0，表示没有装物品时的价值都为0：F(0,j) = F(i,0) = 0；

对于集合的两种划分方式：

第一种方案：如果不选择第i个物品，价值就与前一维相同： f[i][ j] = f[i - 1][j]

第二种方案：不选择第i个物品： f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]

从而得到状态转移方程,即max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i] )

问题一：为什么方案二在这里第二维表示是j - v[i] ？

答：因为要选择的第i个物品体积为v[i] ，而总体积为j，所以要空出v[i]的体积来填充

二维c++代码如下：时间复杂度：O(n * m )

注：具体题目可以在洛谷、力扣等平台找

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i]; //注意i要大于0，因为后面要用到下标i - 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 0; j <= m; j++) {
            if(j < v[i])f[i][j] = f[i-1][j];
            else f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            //最后即比较加上该物品时的价值与不加该物品时的价值哪个大， 
            //不加该物品时f[i][j]是指不包含该物品时其它相加的价值总和
            //而加上此物品后，得到的是 f[i][j - v[i]] 的价值最大值加上当前物品价值w[i]
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;
 return 0;    
}

为什么答案是f[n][m] ？

答：第一维是因为要枚举n个物品，而第二维，即我们的背包体积，f[n][m] 是从f[1][0]一路推过来的。

一维优化： 时间复杂度：O(n * m )


#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;//n是物品数量，m是背包最大容量 
int v[N], w[N];//存储物品体积和价值 
int f[N];//存储最优解答 
int main()
{
    cin >> n >> m;
    //输入对应的 体积和价值 
    for(int i = 1;i <= n;i ++) cin >> v[i] >>w[i];

    for(int i =1;i <= n;i ++)
        for(int j = m;j >= v[i];j --)//如果正序枚举，j循环中的小体积的更新更新会 影响后面的更新 
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);//因为f[j - v[i]] + w[i]这里用的 f[j - w[i]
                                                //应该是上一层i的，即i - 1而不能在这层之前被更新，否则会影响到后面更新       

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

这里存在两个问题：

一. 为什么可以这样优化

我们可以注意到二维数组的更新方式为

        f[i][j] = f[i - 1][j] // 不含i的所有选法的最大价值
        if j >= v[i] //判断含i的选法是否成立
        f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])

可以看出，f[i][] 只与f[i - 1]相关，所以根本没必要保留f[i - 2]即后面的状态值。

将空间从O(n*m)优化为 O(m), n, m分别为物品个数和背包体积。

二. 为什么第二行循环需要倒叙枚举 (与之相对的是完全背包的正序枚举)

当我们更新索引值较大的dp值时，需要用到索引值较小的上一层dp值dp[j - v[i]]；
也就是说，在更新索引值较大的dp值之前，索引值较小的上一层dp值必须还在，还没被更新；
所以只能索引从大到小更新。

就是说在状态转移方程f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])中f[i - 1][j - v[i]] 这里使用的是i - 1层的dp，而如果我们正向枚举时我们的 f[ j - v[i] ]会在 f[j] 之前更新，也就是在更新到f[j - v[i]]这一层时，我们使用的将是被更新过的 f[i][j - v[i]] ,这与原方程f[i - 1][j - v[i]] 不同，所以我们需要倒叙枚举，使得我们将使用的f[j - v[i]] 是未被更新过的

二.有了以上的基础，我们就可以展开对完全背包，多重背包, 分组背包，这三个基础背包模型的学习

完全背包：有 N种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

状态表示：所有只从前i个物品中选，总体积不超过j的方案集合

集合的划分方式：第i个物品选几个