29、BDD 引导子句生成与离散椭球搜索解决二次背包问题

BDD 引导子句生成与离散椭球搜索解决二次背包问题

1 BDD 引导子句生成

在解决布尔可满足性问题（SAT）时，BDD（Binary Decision Diagram，二元决策图）引导的子句生成方法是一种有效的技术。

1.1 子句生成算法实现

使用 C++ 实现了一个名为 Clausegen 的程序来执行子句生成算法。在实现过程中，需要考虑一些关键决策：
- 变量排序 ：BDD 中的变量排序对其大小和近似 BDD 的质量有显著影响。确定最优变量排序非常困难，通常是一个 NP 完全问题。因此，采用了一种简单的启发式方法：为每个变量分配一个分数，该分数是包含该变量的子句数量与这些子句的平均元数的商，然后按分数降序对变量进行排序，使得分数较高的变量对应于 BDD 中较上层的层。
- 节点合并规则 ：在构建松弛 BDD 时，当某一层超过最大宽度时，需要确定合并哪些节点。由于未满足的子句会导致不可行性，且该方法从不可行子树生成子句，因此采用以下合并规则：如果构建的层超过最大宽度 W，则按节点状态中未满足的子句数量对节点进行排序，保留未满足子句数量最多的 W - 1 个节点，并将其他节点合并为一个节点，合并后节点的状态是被合并节点状态的交集。

1.2 实验设置与结果

为了验证方法的有效性，考虑了从随机生成的二分图匹配问题产生的 SAT 实例。对实例进行预处理，并使用 Minisat 2.2.0 作为 SAT 求解器。由于 Minisat 使用非确定性算法，每个测试运行 20 次并取平均值。