19、多聚合变量分支策略研究

多聚合变量分支策略研究

1 引言

在混合整数规划（MIP）求解中，分支规则是关键环节之一。传统的变量分支规则在某些情况下存在性能瓶颈，而一般析取分支虽然能生成较小的分支树，但运行时间往往较长。本文介绍一种基于多聚合变量的分支策略，旨在提高MIP求解的效率。

2 相关工作

2.1 简单析取分支变量选择标准

在文献中，提出了多种选择分数变量进行简单析取分支的标准。大多数选择规则关注分支限制在子节点中产生的对偶界改进，因为这有助于收紧全局对偶界并提前剪枝节点。例如，强分支策略会暂时限制候选变量的边界，并通过求解线性规划（LP）松弛来明确计算潜在子节点的对偶界。不过，完全强分支规则在每个节点对每个分数变量都应用此操作，虽然能得到较小的分支 - 限界树，但计算时间会显著增加。目前，大多数先进的MIP求解器使用某种受限形式的强分支，并结合历史信息来减少后期求解阶段的计算量。

2.2 一般析取分支

一般析取分支可追溯到20世纪80年代。其主要挑战是找到一类好的一般析取，能更好、更准确地收紧可行区域，从而使对偶界更快收敛到最优解值，同时避免高计算成本。不同研究者提出了各种方法，如Owen和Mehrotra通过邻域搜索启发式算法确定分支析取；Mahmoud和Chinneck选择当前LP最优的活动约束，并构造与之垂直或平行的一般析取；Karamanov和Cornuéjols考虑与Gomory混合整数割（GMICs）对应的析取等。然而，一般析取分支通常会导致运行时间性能下降，主要原因是候选析取集较大，确定最佳析取需要花费大量时间，且分支可能增加LP的规模，影响单纯形算法的效率。

3 变量的多聚合