6、逻辑推理系统中的序列与多序列研究

逻辑推理系统中的序列与多序列研究

1. 序列相关概念与推理系统

在逻辑推理中，序列是一个重要的概念。一个序列 $\Delta \Rightarrow \Gamma$ 在系统 $G_m$ 中可证，记为 $\vdash_m \Delta \Rightarrow \Gamma$，当且仅当存在一个序列 ${\delta_1, \ldots, \delta_n}$ 使得 $\delta_n = \Delta \Rightarrow \Gamma$，并且对于每个 $1 \leq i \leq n$，$\delta_i$ 是由之前的序列通过 $G_m$ 中的某个推理规则推导得出。同时，有可靠性和完备性定理：对于任意序列 $\Delta \Rightarrow \Gamma$，$\vDash_m \Delta \Rightarrow \Gamma$ 当且仅当 $\vdash_m \Delta \Rightarrow \Gamma$。

1.1 Gentzen 推理系统 $G_f$

• 有效性定义 ：一个序列 $\Pi \Rightarrow \Sigma$ 是 $G_f$-有效的，记为 $\vDash_f \Pi \Rightarrow \Sigma$，如果对于任意赋值 $v$，要么 $v \vDash \Pi$，要么 $v \vDash \Sigma$。其中，$v \vDash \Pi$ 表示存在某个 $C \in \Pi$ 使得 $v(C) \neq f$；$v \vDash \Sigma$ 表示存在某个 $F \in \Sigma$ 使得 $v(F) = f$。
• 引理 ：设 $\