21、环境数据分析中的因子分析技术

环境数据分析中的因子分析技术

1. 奇异值分解与因子选择

在对样本矩阵 (S) 进行分析时，奇异值分解是一种重要的工具。通常情况下，很少会出现特征值恰好为零的情况，更多的是存在许多极小的特征值。当奇异值分解满足 (P = M) 时，虽然可以舍弃与小特征值 (\lambda_i) 对应的特征向量 (v(i))，但这样得到的表示只是近似的，即 (S \approx CF)。不过，由于样本矩阵 (S) 存在噪声，(S = CF) 和 (S \approx CF) 之间的区别可能并不重要。

在选择 (P) 的值时需要进行判断，因为 (P) 值过小会导致对样本的表示过于粗糙，而 (P) 值过大会保留那些仅仅用于拟合噪声的因子。以大西洋岩石数据集为例，这些噪声因子对应着岩石中实际并不存在的虚构矿物。

1.1 应用于大西洋岩石数据集

为了研究大西洋岩石数据集是否存在岩石为多种因子混合的模式，可按以下步骤操作：
1. 对样本矩阵 (S) 进行奇异值分解，并检查奇异值的大小范围。
- MATLAB 代码 ：

% edama_08_04: factor analysis of Atlantic Rocks dataset
[U, SIGMA, V] = svd(S,0); % svd
sigma = diag(SIGMA); % singular values
Ns = length(sigma); % number of singular values
F = V'; % factors
C = U*SIGMA; % loadings