10、多元数据的统计分析与误差传播

多元数据的统计分析与误差传播

1. 协方差

1.1 相关性的定义

联合概率密度函数 ( p(d_1, d_2) ) 不仅可以描述 ( d_1 ) 和 ( d_2 ) 各自的行为，还能描述它们之间的相关程度。存在以下三种情况：
- 正相关 ：当 ( d_1 ) 的异常高值与 ( d_2 ) 的异常高值同时出现，且 ( d_1 ) 的异常低值与 ( d_2 ) 的异常低值同时出现时，称 ( d_1 ) 和 ( d_2 ) 正相关。
- 负相关 ：当 ( d_1 ) 的高值与 ( d_2 ) 的异常低值同时出现，且 ( d_1 ) 的异常低值与 ( d_2 ) 的高值同时出现时，称 ( d_1 ) 和 ( d_2 ) 负相关。
- 不相关 ：若既不存在正相关也不存在负相关，则称 ( d_1 ) 和 ( d_2 ) 不相关。

1.2 协方差的计算

将 ( (d_1, d_2) ) 平面以均值 ( \bar{d} 1, \bar{d}_2 ) 为中心划分为四个象限，通过将 ( p(d_1, d_2) ) 乘以一个具有四象限交替符号模式的函数 ( s(d_1, d_2) ) 并积分，可量化相关性。当 ( s(d_1, d_2) = (d_1 - \bar{d}_1)(d_2 - \bar{d}_2) ) 时，得到的结果称为协方差 ( \sigma {1,2} )，计算公式如下：
[ \sigma_{1,2} = \iint (d_1 - \bar{d}_1)(d_2 - \bar{d}_2)