《量子信息与量子计算简明教程》第二章·经典比特与量子比特

本专栏的主要内容是 《量子信息与量子计算简明教程》陈汉武 这本书的学习笔记及复习整理。

一、经典比特、量子比特及其叠加状态

  记录经典信息的二进制存储单元称为经典比特(bit)，由经典状态的0和1表示。对于量子信息而言，记录量子信息的存储单元称为量子比特(qubit)，一个量子比特的状态是一个二维复数空间的矢量，它的两个极化状态$|0⟩$和$|1⟩$对应于经典状态的0和1。
  $|0⟩$和$|1⟩$也是二维复数列向量，其构成二维复数空间的一对正交基底，即长度为1，内积为0的复数向量。qubit与bit本质上的不同在于，除了$|0⟩$和$|1⟩$状态以外，qubit可以是两个状态的任意叠加状态(参考第一章·基本概念(上))。取$|0⟩=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]$和$|1⟩=\left[\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right]$，有
$$|\phi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩=\alpha \left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right]$$由此可知，任意的二维复向量都可以看成是qubit的瞬间值。

二、量子比特的测定

  通过一个被称为是测定或观测的过程，可以把一个qubit的状态以概率幅的方式变换成bit信息。也就是说，量子比特$|\phi ⟩$以概率$|⟨0|\phi ⟩{|}^2$变换成bit 0，以概率$|⟨1|\phi ⟩{|}^2$变换成bit 1，$⟨x|y⟩$表示$|x⟩$和$|y⟩$的内积。

  内积是线性运算，并且状态$|0⟩$和$|1⟩$为正交基底，计算内积$⟨0|\phi ⟩$和$⟨1|\phi ⟩$的结果为：
$$\begin{array}{rl}& ⟨0\mid \phi ⟩=⟨0|(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)=\alpha \\ & ⟨1\mid \phi ⟩=⟨1|(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)=\beta \end{array}$$ 即$|\phi ⟩$以概率$|\alpha {|}^2$变换成bit 0，以概率$|\beta {|}^2$变换成bit 1。当$\alpha =1$时，$|\phi ⟩$取值0的概率为1，$\beta =1$时，$|\phi ⟩$取值1的概率为1。

三、量子比特对

  拥有一个量子比特对，那么将拥有4个正交基底 { ∣ 00 ⟩ , ∣ 01 ⟩ , ∣ 10 ⟩ , ∣ 11 ⟩ } \{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\} {∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩}，此时有：
$$|\phi ⟩={\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩+{\alpha }_{10}|10⟩+{\alpha }_{11}|11⟩$$其中${\left|{\alpha }_{00}\right|}^2+{\left|{\alpha }_{01}\right|}^2+{\left|{\alpha }_{10}\right|}^2+{\left|{\alpha }_{11}\right|}^2=1$。与单个量子比特相同，通过测定量子比特对，获得的值为00，01，10，11的概率为其对应的参数的绝对值的平方。
  同样地，取取$|0⟩=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]$和$|1⟩=\left[\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right]$，有
$$|00⟩=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],|01⟩=\left[\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],|10⟩=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],|11⟩=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$我们可以只测定其中一个qubit的值。比如只测定第一位qubit的值，那么对量子比特对第一位的测定结果为：
$$\begin{gathered} \text{bit0的概率：}|⟨00\mid \phi ⟩{|}^2+|⟨01\mid \phi ⟩{|}^2 \\ \text{bit1的概率：}|⟨10\mid \phi ⟩{|}^2+|⟨11\mid \phi ⟩{|}^2 \end{gathered}$$  因为只对量子比特对的第一位进行了测定，那么此时就需要注意到测定后，第二位qubit的状态变化如下：
$$\text{bit0：}\frac{{\alpha }_{00}|0⟩+{\alpha }_{01}|1⟩}{\sqrt{{\left|{\alpha }_{00}\right|}^2+{\left|{\alpha }_{01}\right|}^2}},\text{bit1：}\frac{{\alpha }_{10}|0⟩+{\alpha }_{11}|1⟩}{\sqrt{{\left|{\alpha }_{10}\right|}^2+{\left|{\alpha }_{11}\right|}^2}}$$

四、量子比特的基本操作

1. X-Gate

  将状态$|0⟩$反转成状态$|1⟩$，或者状态$|1⟩$反转成状态$|0⟩$称为bit反转演算，其对应量子逻辑非门，用$2\times 2$的$Pauli$矩阵${\sigma }_X$表示为：
$$X={\sigma }_X=\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$称为X-Gate(bit反转演算子)。如果对状态$\alpha |0⟩+\beta |1⟩$实施bit反转演算，将会得到$\alpha |1⟩+\beta |0⟩$：
$$X(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)=\alpha X|0⟩+\beta X|1⟩=\alpha |1⟩+\beta |0⟩$$对于这样的一个bit反转演算子，有：
$$X^{†}X=X{X}^{†}=\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=I$$因此，X-Gate满足幺正性，是幺正矩阵(参考第一章·基本概念(上))。

对某一个幺正矩阵来说，其是否能成为实际操作过程中的量子演算子，要视其演算结果是否能够表达某一特定的物理现象。能够实现量子演算的幺正矩阵还有下面几个。

2. Z-Gate

  $Z$称为位相翻转演算子或称为Z-Gate，用Pauli矩阵${\sigma }_Z$表示为：
$$Z={\sigma }_Z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$其作用在状态$|0⟩$和$|1⟩$上的结果是状态$|0⟩$不变，$|1⟩$发生位相翻转，变为$-|1⟩$。例如，对状态$\alpha |0⟩+\beta |1⟩$实施Z-Gate，有：
$$Z(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)=\alpha Z|0⟩+\beta Z|1⟩=\alpha |0⟩-\beta |1⟩$$同样地，有：
$$Z^{†}Z=Z{Z}^{†}=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=I$$因此，Z-Gate满足幺正性。

3. Hadamard变换

  Hadamard变换也称为H-Gate，其矩阵表示为：
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$其作用在状态$|0⟩$和$|1⟩$上的结果为：
$$\begin{array}{rl}& H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]=\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}\\ & H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right]=\frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}\end{array}$$同样地，有：
$$H^{†}H=H{H}^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]=I$$因此，Hadamard变换也满足幺正性。

4. CNOT门

  控制非门(Controlled-NOT-Gate)简称为CNOT门，是一个2位qubit输入和2位qubit输出的量子回路，是没有能耗的可逆运算。CNOT门的作用如下图所示。

其中，状态$|x⟩$称为控制比特位，状态$|y⟩$称为目标比特位。当我们将$|x⟩$和$|y⟩$输入到CNOT门之后，控制比特位上的输出状态不变，依旧为$|x⟩$，而目标比特位上的输出状态变为$|x\oplus y⟩$。而$\oplus$实现的是二进制的模2加法，因此，对于输入状态$|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$，可以推导出如下的输出状态：

结果表明，当控制位为状态$|0⟩$时，目标位上的qubit不发生bit反转；当控制位为状态$|1⟩$时，目标位上的qubit发生bit反转。 因此，CNOT门的作用可以概括为：利用控制比特$|x⟩$实现对目标比特$|y⟩$的 bit反转(X-Gate)。
  控制非门对于叠加状态是线性算子，也就是说当叠加状态${\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩+{\alpha }_{10}|10⟩+{\alpha }_{11}|11⟩$被送入控制非门，其输出状态是${\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩+{\alpha }_{10}|11⟩+{\alpha }_{11}|10⟩$。如果qubit对的基底表示为
$$|00⟩=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],|01⟩=\left[\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],|10⟩=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],|11⟩=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$
那么，CNOT门可以表示为$4\times 4$的幺正矩阵：
$$CNOT=\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$  我们已经总结出CNOT门就是利用控制比特$|x⟩$实现对目标比特$|y⟩$的 bit反转(X-Gate)，同样地，如果利用控制比特$|x⟩$实现对目标比特$|y⟩$的位相翻转(Z-Gate)，则可以得到控制Z门(Controlled-Z-Gate)，简记为CZ门。如何实现从CNOT门到CZ门的转换呢？参考如下变换：
$$HXH=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=Z$$即在X-Gate前后分别作用一个Hadamard门，就可以得到Z-Gate。于是，通过CNOT门得到CZ门的方法为：
$$\begin{array}{rl}(I\otimes H)CNOT(I\otimes H)& =\left[\begin{array}{cc}H& 0\\ 0& H\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& X\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}H& 0\\ 0& H\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}H& 0\\ 0& H\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}H& 0\\ 0& XH\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& HXH\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& Z\end{array}\right]\\ & =CZ\end{array}$$当叠加状态${\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩+{\alpha }_{10}|10⟩+{\alpha }_{11}|11⟩$被送入CZ门，其输出状态是${\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩+{\alpha }_{10}|10⟩-{\alpha }_{11}|11⟩$。同样地，CZ门可以表示为$4\times 4$的幺正矩阵：
$$CZ=\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$$

实际上，将右下角的$2\times 2$矩阵进行变化，可以得到不同的针对目标量子比特的操作。除此之外，对左上角的$2\times 2$矩阵进行变化，则可以对控制量子比特的状态进行改变。