《量子信息与量子计算简明教程》第一章·基本概念(下)

四、经典解读

  光子、电子、质子等微观客体具有“波粒二象性”，此时的波不再是经典概念下的波，但是具有波动性中最本质的东西，即波的“相干叠加性”；粒子也不再是经典概念下的粒子，但是具有粒子运动最本质的现象，即粒子的直线运动与反射。因此，引入 波函数$\psi (r)$ 来描述粒子的状态。

  由于微观粒子的波动呈现出它运动的一种统计规律，因此称其为概率波。波函数$\psi (r)$的绝对值的平方等于粒子在点$r$附近出现的概率$p$：
$$p(r)={\psi }^{\ast }(r)\psi (r)=|\psi (r){|}^2$$ 也称$\psi (r)$为概率幅，它是一个复数，包含模$|\psi (r)|$和相位$\phi (r)$两部分：$$\psi (r)=|\psi (r)|e^{i\phi (r)}$$

4.1 薛定谔的猫

  “薛定谔的猫”所描述的场景：将一只猫关在装有少量镭和氰化物的密闭容器里。镭的衰变存在几率，如果镭发生衰变，会触发机关打碎装有氰化物的瓶子，猫就会死；如果镭不发生衰变，猫就存活。根据量子力学理论，由于放射性的镭处于衰变和没有衰变两种状态的叠加，猫就理应处于死猫和活猫的叠加状态。如果我们用$|L⟩$表示猫“活”的状态，$|D⟩$表示猫“死”的状态，那么上述薛定谔的猫态可以表示为：
$$|\phi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|L⟩+|D⟩)$$

4.2 EPR佯谬

  考虑一对总自旋为零的粒子对在空间上分开，其分开的距离大到对其中一个粒子的测量不会对另一个粒子产生干扰。如果测得一个粒子的自旋向上，那么另一个粒子不管测量与否，其自旋必然处于自旋向下的本征态。EPR佯谬认为真实世界并非如此，并且以此质疑量子力学的完备性。

4.3 贝尔态基与量子隐形传态

  贝尔不等式给出了这样一个事实：两个观察者$A$和$B$分别对光子对的个别光子做偏振测量，两人可以任意选择不同的测量基底，假设$A$选了$a$和$a^{\prime }$两种基底，$B$选择了$b$和$b^{\prime }$。用$E(a,b)$代表当$A$用基底$a$而$B$用基底$b$时，重复多次同样的实验后，统计的结果“平行”与“垂直”的两种几率差（即期望值），经典的理论预测总是有以下不等式：
$$-2\le E(a,b)-E\left(a,b^{\prime }\right)+E\left(a^{\prime },b\right)+E\left(a^{\prime },b^{\prime }\right)\le 2$$ 该不等式即为贝尔不等式。

  贝尔算符的全套本征态称为贝尔态基，其由如下4个态矢组成：
$$|{\beta }_{00}⟩=\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]|{\beta }_{01}⟩=\frac{|01⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$
$$|{\beta }_{10}⟩=\frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right]|{\beta }_{11}⟩=\frac{|01⟩-|10⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right|$$
同时，贝尔态基也可以表示为以下形式：
$$\begin{array}{c}|{\Psi }^{(\pm )}⟩=\frac{|01⟩\pm |10⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩\otimes |1⟩\pm |1⟩\otimes |0⟩)\\ |{\Phi }^{(\pm )}⟩=\frac{|00⟩\pm |11⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩\otimes |0⟩\pm |1⟩\otimes |1⟩)\end{array}$$
  有了以上贝尔态基的概念理解之后，进一步了解量子隐形传态：将原物体的信息分成经典信息和量子信息两部分，经典信息是发送者对原物体进行某种测量而提取原物体的一部分信息，量子信息是发送者在扫描中留下未测量的信息；经典信息和量子信息分别通过经典通道和量子通道传送，接收者获得这两种信息后，就可以备制出原物体量子态的完美复制品。量子隐形传态的实验示意图如下图所示。

  首先在EPR源中备制好EPR光子对(粒子2、3的纠缠态)，并将粒子2分发到Alice，粒子3分发到Bob；将所要传递的信息体现在粒子1的量子态中。然后将光子1和2通过光分束器产生纠缠，随即发生纠缠交换。Alice测量并判断粒子$(1,2)$处于哪个贝尔纠缠态，通过经典信道向Bob传递测量结果。最后Bob通过测量光子3的偏振态，即可获知光子1所加载的信息。接下来采用数理解析的方式叙述该过程。设想一个自旋概率0.5的粒子的量子态$|\phi ⟩$中包含了所要传递的信息，Alice(A)欲将此信息传递给Bob(B)。

  事先准备好EPR粒子对$(2,3)$，使其自选方向相反，处在下列贝尔纠缠态：
$$|{\Psi }_{23}^{(-)}⟩=\frac{|01⟩-|10⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0_{(2)}⟩\otimes |1_{(3)}⟩-|1_{(2)}⟩\otimes |0_{(3)}⟩\right)$$粒子2、3分别分发给$A$和$B$。要传递的信息体现在粒子1的量子态中：
$$|{\phi }_1⟩=a|0_{(1)}⟩+{b|}_{(1)}⟩=\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right]$$

  接下来，$A$对粒子1和EPR粒子对$(2,3)$的联合系统进行测量。这时$A$面临的粒子态为：
$$|{\Psi }_{123}⟩=|{\phi }_1⟩\otimes |{\Psi }_{23}^{(-)}⟩$$ $A$处的粒子是$(1,2)$，$A$所做的测量是判断粒子1和粒子2处于哪个贝尔纠缠态。将上述波函数按粒子$(1,2)$的贝尔态基展开：
$$|{\Psi }_{123}⟩=|I_3⟩\otimes |{\Psi }_{12}^{(-)}⟩+|I{I}_3⟩\otimes |{\Psi }_{12}^{(+)}⟩+|II{I}_3⟩\otimes |{\Phi }_{12}^{(-)}⟩+|I{V}_3⟩\otimes |{\Phi }_{12}^{(+)}⟩$$由于贝尔态基正交归一，可求出待定系数：
$$⟨{\Psi }_{12}^{(-)}\mid {\Psi }_{123}⟩=|I_3⟩\otimes ⟨{\Psi }_{12}^{(-)}\mid {\Psi }_{12}^{(-)}⟩=|I_3⟩$$得
$$|I_3⟩=-\frac{1}{2}\left(a|0_{(3)}⟩+b|1_{(3)}⟩\right)\Rightarrow -\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right]$$同理
$$|I{I}_3⟩=-\frac{1}{2}\left(a|0_{(3)}⟩-b|1_{(3)}⟩\right)\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right]$$
$$|II{I}_3⟩=\frac{1}{2}\left(a|0_{(3)}⟩+b|1_{(3)}⟩\right)\Rightarrow \left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right]$$
$$|I{V}_3⟩=\frac{1}{2}\left(a|0_{(3)}⟩-b|1_{(3)}⟩\right)\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right]$$
不难看出，上述4个参数都是由$|{\phi }_3⟩\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right]$经过某一幺正变换得到的量子态。

  当$A$对$|{\Psi }_{123}⟩$进行$(1,2)$粒子贝尔态基的分析时，整个波函数以一定的概率随机塌缩到某个贝尔态上，此时$B$中的粒子3立即塌缩到与之对应的参数上。这意味着粒子1和粒子2纠缠在一起，粒子3与粒子2解除了纠缠。但是$B$并不知道$A$传递的量子态$|{\phi }_1⟩$是什么，此时$A$通过经典通道将测量结果告知$B$，$B$采用相对应的逆幺正变换将粒子3的量子态变回$|{\phi }_1⟩$，这便是$A$传递的量子态信息。

4.4 NP问题

  问题的计算时间若以计算项数幂次上升的计算量完成，称此问题为P问题，是一个能用计算量$O(n^k)$解决的问题的集合。NP问题是指在P之外存在的计算量呈计算项数指数增加的问题的集合。NP类问题在经典计算机上是不能计算的，但是量子计算可以把其中的一部分NP问题变成P问题，比如用量子计算机结合Shor算法，就可以将大数因式分解问题变成P问题。

4.5 图灵机、经典计算机与量子计算机基本概念

   通用图灵机的主要构成：记忆单元、处理单元、控制程序。 将记忆单元想象成一条具有一连串存储单元的磁带，处理单元则是指向某个存储单元的读写头，而控制程序负责决定读写头在不同状态下遇到不同数据时所进行的操作，如图所示。

  通用图灵机模型是不可逆的。对所有不可逆的通用图灵机，都可以找到一个对应的可逆图灵机，使得两者具有完全相同的计算能力和计算效率。 在量子力学中，任何可逆操作都可以用一个幺正变换来代表。量子计算机可以等效为一个量子图灵机，量子图灵机可以等价为一个量子逻辑电路，因此可以通过一些量子逻辑门的组合来构成量子计算机。量子逻辑门对输入比特进行一个确定的幺正变换，得到输出比特。

经典计算机的特点：输入态和输出态都是经典信号；经典计算机内部的每一步变换都将正交态演化为正交态。

量子计算机的特点：输入态和输出态为一般的叠加态，相互之间通常不正交；量子计算机中的变换为所有可能的幺正变换；得出输出态之后，量子计算机对输出态进行一定的测量，给出计算结果。

  量子计算最本质的特征是量子叠加性和相干性。量子计算机对每一个叠加分量实现的变换相当于一种经典计算，所有这些经典计算同时完成，并按一定的概率振幅叠加起来以后给出量子计算机的输出结果，实现并行计算。能耗产生于计算过程中的不可逆操作，其会导致芯片的发热，影响芯片的集成度，从而限制计算机的运行速度。消除能耗的关键是将不可逆操作改造为可逆操作，线性代数中的幺正变换就是可逆的。