快速幂(二分幂)

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本文介绍了两种实现快速幂算法的方法：递归与迭代。快速幂算法主要用于高效计算形如ab%ma^b\%mab%m的问题，其中a、b、m均为正整数。该算法的时间复杂度为O(log⁡b)O(\log{b}

快速幂(二分幂)

问题

给定正整数a、b、m，求 $a^b\%m$ 。

方法一

运用递归思想，考虑以下两个步骤：

b为奇数，则 $ab=a∗ab2∗ab2a^b = a * a^{\frac{b}{2}} * a^{\frac{b}{2}}$
b为偶数，则 $ab=ab2∗ab2a^b = a^{\frac{b}{2}} * a^{\frac{b}{2}}$

时间复杂度为 $O(\log{b})$

typedef long long LL;

LL binaryPow(LL a, LL b, LL m)
{
    if (b == 0)         // 递归边界
        return 1;
    
    // 注意不能直接return函数乘积，不然会造成重复计算
    LL p = binaryPow(a, b / 2, m);  
    if (b % 2 == 0)     
        return p * p % m;        
    else                
        return a * p * p % m;
}

方法二

运用迭代思想，将b用二进制表示，那么可以得到 $ab=∏a2i∗kia^b = \prod a^{2^i}*k_i$ ， $i$ 表示b二进制从低位到高位的位号， $k_i$ 表示当前位的数字是0或1。

typedef long long LL;

LL binaryPow(LL a, LL b, LL m)
{
    LL ans = 1;             // 记录结果
    while (b)
    {
        if (b & 1)          // b二进制的末位为1，则累乘
            ans = ans * a % m;
        a = a * a % m;      // b每右移一位，a的值都要变化
        b = b >> 1;         // b右移一位
    }
    return ans;
}