本文介绍了一种利用分段五次多项式插值通过给定点序列的方法，包括一阶和二阶导数的估计，以及MATLAB实现代码。适用于信号处理、计算机图形学等领域。
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一、问题描述
给定 n + 1 n+1 n+1个点序列 ( t i , p i ) (t_i,p_i) (ti,pi)，利用分段五次多项式插值，使得分段多项式经过所有点序列。其中， t i t_i ti必须单调递增， i = 0 , 1 , . . . , n i=0,1,...,n i=0,1,...,n。
二、推导步骤
起点处一阶导数估计：
v 0 = ( p 1 − p 0 ) / ( t 1 − t 0 ) (1) v_0=(p_1-p_0)/(t_1-t_0)\tag 1 v0=(p1−p0)/(t1−t0)(1)
终点处一阶导数估计：
v n = ( p n − p n − 1 ) / ( t n − t n − 1 ) (2) v_n=(p_n-p_{n-1})/(t_n-t_{n-1})\tag 2 vn=(pn−pn−1)/(tn−tn−1)(2)
中间点处一阶导数估计：
v k = ( d k + d k + 1 ) / 2 (3) v_k=(d_k+d_{k+1})/2 \tag 3 vk=(dk+dk+1)/2(3)
其中， d k = ( p k − p k − 1 ) / ( t k − t k − 1 ) d_k=(p_k-p_{k-1})/(t_k-t_{k-1}) dk=(pk−pk−1)/(tk−tk−1)。
起点处二阶导数估计：
a c c 0 = ( v 1 − v 0 ) / ( t 1 − t 0 ) (4) acc_0=(v_1-v_0)/(t_1-t_0)\tag 4 acc0=(v1−v0)/(t1−t0)(4)
终点处二阶导数估计：
a c c n = ( v n − v n − 1 ) / ( t n − t n − 1 ) (5) acc_n=(v_n-v_{n-1})/(t_n-t_{n-1})\tag 5 accn=(vn−vn−1)/(tn−tn−1
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