bzoj 2067 [Poi2004]SZN 贪心二分

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二分

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本文介绍了一种基于图论的算法，用于解决特定类型的路径寻找问题。该算法通过二分查找和贪心策略来确定图中节点间的最短路径，特别适用于处理包含多个节点及其连接的复杂图结构。

对于第一问答案就是 $\sum{(du[i]-1)/2}+1$
对于第二问先二分答案，对于一个非根的点，一定有一条从父亲向下的链，设f[i]表示到点i父亲往下的链最短长度。
将当前点的所有儿子的 $f[son[i]]+1$ 放到一起排个序。
二分f[i]的位置，检验时去掉二分位置的值，贪心每次拿一个最小的匹配最大的（组成一条链），如果儿子总数是偶数把剩余的最大的单独形成一条链（对于根不适用）。
如果儿子总数是偶数并且可以直接两两匹配那么f[i]=0（根节点必须这样匹配）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 21000
int n,tot,ans;
int head[N],nex[N<<1],to[N<<1];
int du[N],f[N];
vector<int>vec[N];
void add(int x,int y)
{
    tot++;
    nex[tot]=head[x];head[x]=tot;
    to[tot]=y;
}
int calc(int x,int pos,int sz,int v)
{
    int pos1=-1;
    if(~sz&1)
    {
        if(pos!=sz-1)pos1=sz-1;
        else pos1=sz-2;
    }
    for(int i=0,j=sz-1;i<j;i++,j--)
    {
        while(i==pos||i==pos1)i++;
        while(j==pos||j==pos1)j--;
        if(i>=j)break;
        if(vec[x][i]+vec[x][j]>v)return 0;
    }
    return 1;
}
int dfs(int x,int y,int v)
{
    for(int i=head[x];i;i=nex[i])
        if(to[i]!=y)
        {
            if(!dfs(to[i],x,v)||f[to[i]]+1>v)
                return 0;
            vec[x].push_back(f[to[i]]+1);
        }
    sort(vec[x].begin(),vec[x].end());
    int sz=vec[x].size();
    if(!sz){f[x]=0;return 1;}
    int l=0,r=sz-1;
    if(!calc(x,r,sz,v))return 0;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(calc(x,mid,sz,v))r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    f[x]=vec[x][l];
    if(~sz&1)
    {
        int flag=0;
        for(int i=0,j=sz-1;i<j;i++,j--)
            if(vec[x][i]+vec[x][j]>v)
                flag=1;
        if(!flag)f[x]=0;
        else if(x==1)return 0;
    }
    return 1;
}
int check(int x)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        vec[i].clear();
    return dfs(1,0,x);
}
int main()
{
    //freopen("tt.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,x,y;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);add(y,x);
        du[x]++;du[y]++;
    }
    ans+=(du[1]+1)/2;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ans+=(du[i]-1)/2;
    int l=0,r=n-1;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid))r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d %d\n",ans,l);
    return 0;
}