bzoj 4174 tty的求助 数论 莫比乌斯反演

题意：求$\sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M \sum_{k=0}^{m-1}\lfloor \frac{nk+x}{m}\rfloor$

先膜PoPoQQQ大爷。

$\sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M \sum_{k=0}^{m-1}\lfloor \frac{nk+x}{m}\rfloor$

$=\sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M \sum_{k=0}^{m-1}\lfloor \frac{nk\%m+x}{m}\rfloor+\frac{nk}{m}-\frac {nk\%m}{m}$

然后先不考虑n,m，分三部分算。
设$gcd(n,m)=d$。

$\sum_{k=0}^{m-1}\lfloor \frac{nk\%m+x}{m}\rfloor$
$=\sum_{k=0}^{m-1}\lfloor \frac{d(\frac {n}{d}k\%\frac{m}{d})+x}{m}\rfloor$
然后因为$\frac{n}{d}$ 和 $\frac{m}{d}$ 互质，所以：
$=d\sum_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}\lfloor \frac{dk+x}{m}\rfloor$
$=d\sum_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}(\lfloor \frac{dk+x\%m}{m}\rfloor+\frac{x-x\%m}{m})$
然后因为$dk$ 和 $x\%m$ 都小于m，所以$dk+x\%m$ 只能是1或0：
$=d\sum_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}( [dk+x\%m\ge m]+\frac{x-x\%m}{m})$
$=d\lfloor\frac{x\%m}{d}\rfloor+d\frac{m}{d}\frac{x-x\%m}{m}$
$=d\lfloor\frac{x}{d}\rfloor$

$\sum_{k=0}^{m-1}\frac{nk}{m}$$=\frac{n}{m}\frac{(m-1)m}{2}$$=\frac{n(m-1)}{2}$

$\sum_{k=0}^{m-1}\frac {nk\%m}{m}$$=d\sum_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}\frac{dk}{m}$$=\frac{m-d}{2}$

然后加到一起，不含d的项$O(1)$ 算，枚举d，反演一下，然后$O(nlogn)$ 就可以算出来了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 510000
#define mod 998244353
#define ll long long
int n,m;
double x;
int mu[N],prime[N],ip[N],cnt,ans;
void liner_shuffle()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!ip[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            ip[i*prime[j]]=1;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
}
int S(int x)
{return (ll)x*(x+1)/2%mod;}
int qpow(int x,int y)
{
    int ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ll)ret*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod;y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%lf",&n,&m,&x);
    liner_shuffle();
    ans=((ll)S(n)*S(m)%mod-(ll)S(n)*m%mod-(ll)S(m)*n%mod)%mod;
    for(int i=1;i<=n&&i<=m;i++)
    {
        int t=(i+(ll)2*i*(ll)(x/i))%mod,sum=0;
        for(int j=i,k=1;j<=n&&j<=m;j+=i,k++)
            sum=(sum+(ll)mu[k]*(n/j)%mod*(m/j)%mod)%mod;
        ans=(ans+(ll)t*sum%mod)%mod;
    }
    ans=(ans+mod)%mod;
    ans=(ll)ans*qpow(2,mod-2)%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}