【网络流24题】最长不下降子序列问题

Description

给定正整数序列 x1,., xn 。

（1）计算其最长不降子序列的长度 s。

（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为 s的不降子序列。

（3）如果允许在取出的序列中多次使用 x1和 xn，则从给定序列中最多可取出多少个长度为 s的不降子序列。

设计有效算法完成（ 1）（2）（3）提出的计算任务。

Input

文件第 1行有 1个正整数 n，表示给定序列的长度。接下来的 1行有 n个正整数 x1,., xn 。

Output

第 1行是最长不降子序列的长度 s。第 2行是可取出的长度为 s的不降子序列个数。第 3行是允许在取出的序列中多次使用 x1和 xn时可取出的长度为 s的不降子序列个数。

Sample Input

4
3 6 2 5

Sample Output

2
2
3

HINT

n<500

题解

网络流最大流
先用dp求出f,f[i]表示以第i位结尾的最长不下降子序列的长度，求出最长不下降子序列的长度k。
建图方法
对于问题（2）：
1.将每个点拆成两个点，（i，i+n），从i到i+n连接一条容量为1的边。
2.当f[i]为1时，从原点到i连接一条容量为1的边。
3.当f[i]为k时，从i+n到汇点连接一条容量为1的边。
4.若i< j&& a[i]<=a[j]&&f[j]==f[i]+1，从i+n到j连接一条容量为1的边。
跑出的最大流即为答案。
对于问题（3）：
将第1个点和第n个点所连接的边容量改为inf，再跑一遍最大流，就可以得到答案。

code

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 510
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct node
{
    int next,to,s;
};
node Edge[N*N*2];
int n,k,T,tot=1;
int a[N],f[N];
int head[N<<1];
int h[N<<1];

void add(int x,int y,int z)
{
    Edge[++tot].next=head[x];
    Edge[tot].to=y;
    Edge[tot].s=z;
    head[x]=tot;
}

void ins(int x,int y,int z)
{
    add(x,y,z),add(y,x,0);
}

void clear()
{
    tot=1;
    memset(head,0,sizeof(head));
}

bool bfs()
{
    queue<int>Q;
    Q.push(0);
    memset(h,-1,sizeof(h));
    h[0]=0;
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();
        Q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=Edge[i].next)
        {
            int to=Edge[i].to,s=Edge[i].s;
            if(!s||h[to]!=-1)continue;
            h[to]=h[u]+1;
            Q.push(to);
        }
    }
    if(h[T]==-1)return false;
    return true;
}

int dfs(int u,int x)
{
    if(u==T)return x;
    int used=0;
    for(int i=head[u];i;i=Edge[i].next)
    {
        int to=Edge[i].to,s=Edge[i].s;
        if(!s||h[to]!=h[u]+1)continue;
        int w=x-used;
        w=dfs(to,min(w,s));
        used+=w;
        Edge[i].s-=w;
        Edge[i^1].s+=w;
        if(used==x)return x;
    }
    if(!used)h[u]=-1;
    return used;
}

int dinic()
{
    int ans=0;
    while(bfs())
        ans+=dfs(0,inf);
    return ans;
}

void solve1()
{
    T=2*n+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(f[i]==1)ins(0,i,1);
        if(f[i]==k)ins(i+n,T,1);
        ins(i,i+n,1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[i]<=a[j]&&f[j]==f[i]+1)ins(i+n,j,1);
    }
    cout<<dinic()<<endl;
}

void solve2()
{
    clear();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int v=1;
        if(i==1||i==n)v=inf;
        if(f[i]==1)ins(0,i,v);
        if(f[i]==k)ins(i+n,T,v);
        ins(i,i+n,v);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[i]<=a[j]&&f[j]==f[i]+1)ins(i+n,j,1);
    }
    int tmp=dinic();
    if(tmp>inf)printf("%d",n);
    else printf("%d\n",tmp);
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        for(int j=0;j<i;j++)
            if(a[j]<=a[i])f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        k=max(k,f[i]);
    }
    cout<<k<<endl;
    solve1();
    solve2();
    return 0;
}