完美洗牌的秘密（十四）——反完美洗牌第三定理的应用一（whispering joker）

有意思的是，市面上我收集到的相关应用，很少有直接用完美洗牌第三定理的。都至少要加入一点反完美洗牌的因素，要么全程你就见不到完美洗牌。我想还是基于这个操作如何变成一个普通人可执行，熟悉的角度来理解的。到目前整个完美洗牌系列的完美洗牌部分，也只有最开始的《penehole's principle magic more》的那个系列《完美洗牌的秘密（六）——完美洗牌定理的应用（penehole's principle magic more等）》是比较纯粹的完美洗牌为核心操作的应用，剩下的也都基本上是反操作的内容。

我们在讲完美洗牌第三定理内容的时候，要着重用到环的模型，即首尾相接的排列。这样能够轻松解决这里距离物理意义的问题。那么接着，我们同样用这个牌环模型来理解一下下面的魔术吧！

whispering joker

先看视频。

视频1 whispering joker

这个魔术是最开始来启发我总结出（反）完美洗牌第三定理的素材作品，出自Karl Fulves的大作《Self-working Card Tricks》。我以此为起点，关联起了前面介绍过的吴如皓老师的茫茫人海系列魔术（虽然后来发现，它只是神似罢了，实际上是第一定理的应用而已），以及另外几个魔术，构成了这个小系列。也是这个魔术，联系起了完美洗牌和保持stay stack性质的应用以及本质，也让我开始用环的结构来尝试建模一些操作，发现在一些场景下真的是直击要害。

数学

原理

在我最开始在Karl Fulves的书中读到这个作品的时候，我自己对照着做了一遍，是那种不经常发生地，被最后的效果给震撼了的感觉。我靠，居然真的成功了。这应当就是能驱使每个理性派的人去搞清楚一个数学魔术背后的秘密的关于探索的源动力吧！

最开始思考的时候，遇到的困难同样是来自于对构建模型时数学工具选择的错误。一开始仍然按照序列模型，用最基础的完美洗牌定理去讨论两张和joker一开始处于相邻位置的牌，最后的去向。这里会发现，因为切牌的存在，所以它们的绝对位置其实一直都是随意变化的。而这样一来带来的问题便是，它们的位置可能随时会跨过一叠牌而到另一叠去，那样在一叠里还勉强可以用的完美洗牌定理的结论就陷入了麻烦。

数学模型的优雅就在于，你建模的粒度和角度，刚刚好够解决这个问题。再粗一点就有些细节没有描述到，信息不足，解决不了；再细一点，虽然硬算仍然能解决，但是再也没有了数学的优雅简洁之美；而方向不对的话，虽然逻辑正确，但不通往解决问题的方向也是白搭。这让我想到了物理里学习受力分析的时候，经常要用整体法和部分法结合着进行。虽然只有部分法也可以，但是式子会很复杂，最终通过很多变形化简才能得到所求，可见研究问题选择的粒度和角度都很重要。

我们再来观察一下所求，再来审视我们的模型是否合理。我们最后一步把joker挑了出来，并且顺便把它放在了首位，这其实是一次和joker位置有关的切牌操作。把joker切到顶位以后，那接下来每张牌的位置等价于原来和joker的距离！

换句话讲，我们从头至尾都只关心我们的选牌和joker的距离这个相对大小，而不关心其绝对位置！而切牌刚好是个不影响相对位置大小的操作，因此切牌带来的绝对位置的影响我们根本可以不用关心，相对位置这个特征关于切牌操作是对称的，是个不变量！

于是我们就可以把目光投向joker和选牌之间的距离，或者说任意两张牌之间的距离在逆完美洗牌下的变化规律。

这个规律，就是我们前面讲过的完美洗牌第三定理。

最开始，我们从joker（位置为C0）两侧挑出来的牌（设位置为A0和B0）到joker的距离分别为1和-1，即：

A0 - C0 == 1(mod 21)

C0 - B0 == - 1(mod 21)

根据完美洗牌第三定理，我们有，

A1 - C1 == 1 / 2 = - 20 / 2 = - 10(mod 21)

C1 - B1 == - 1 / 2 = 20 / 2 = 10(mod 21)

你看，是不是如stay stack在奇数张时候性质保持的情况一样，原来对称未知的两张牌依旧会处在对称的位置上。再来一次：

A2 - C2 == 10 / 2 = - 5(mod 21)

C2 - B2 == - 10 / 2 = 5(mod 21)

因此，在这个魔术的两次操作里，我们得到了处在joker对称位置距离为5的两个位置上会有最开始我们选中的相邻的两张牌的结论。

什么？距离顶部和底部为5的两张牌，现在需要找个方法展现一下？这边倒是可以有很多选择了，其中之一就是在视频里所使用的milk shuffle的调整，很容易就置顶了，当然也可以想想别的办法，结合一下约瑟夫问题等等。

其实这个魔术，执行两次，从相邻位置到5，完全拜这个特殊的奇数值21所赐。奇数张是使用完美洗牌第三定理的前提，21的这个mod选择才使得最终是5。不过根据完美洗牌第二定理的说法（整数mod N乘法群），这里想要再恢复到相邻位置的次数刚好就是满足2 ^ n == 1(mod N)的最小n，这也就是2这个元素在这个群里的阶。当n = phi(N)时2才是模N的原根，否则n是phi(N)的小于它的因数，这个结论和仅考虑单张牌位置变化时是一样的。所以，在恢复距离为1之前，它却不一定遍历之前的所有位置差值，哪怕N是质数也不管用，还得加上原根的条件。

而如果是其他奇数，执行两次以后，也会有不同的位置，完全也可以根据mod n的除法计算出来。因此，这个效果也不是只有21能做，每个奇数几乎都可以，次数也不限，因为规律都尽在掌握了，所以21也完全可以变成任何一个奇数的随机选择来加强魔术效果。

但至少，我们可以通过这个隐含的在整数mod n乘法群里的操作，去随时算出我们关心的两张原本相邻于joker的两张选牌，最后去了哪里。甚至可以随机选择一个奇数的N张，去随机地发若干次后去找到选牌，这个更多的设计留给读者自己思考了，我有了想法也会拿出来和大家分享。

魔术

原理

数学都这么优秀了，还要啥魔术原理呢？大家随便编一个关于joker找牌的故事就够了哈~

只提一点，这个收尾都差n张的性质，它可以不错地把首位相距两段相等的牌在部分milk shuffle下很好地一起置顶，来作为辅助最后展示结局的操作。milk shuffle相关内容在后面还有介绍。

下期见，还有好作品相见！

精彩抢先看！

视频2 max maven的6张数牌巧合

视频3 张牌点数和巧合from max maven

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！