FERMI-week2

Lecture1
Swaps
一定程度上而言，比较优势的存在，导致了swaps掉期的出现。
金融中介financial intermediary的介入，使得掉期双方的收益有一定的损失，但双方均避免了对方的违约风险。

利率掉期定价 Interest rate swaps
$r_t$：时刻$t$的浮动利率（未知）。
假设A需要借入浮动利率，B需要借入固定利率。
即A借入浮动利率$Nr_{t-1}$，借出固定利率$NX$；
B借入固定利率$NX$，借出浮动利率$Nr_{t-1}$。
对于A来说，进入该掉期的价值$V_A$为：
$V_A= N(1-d(0,T))-NX \sum\limits^T_{t=1}d(0,t)$
其中$N(1-d(0,T))$是收到的B支付的浮动利率资金，$NX \sum\limits^T_{t=1}d(0,t)$是付给B的固定利率资金。
当$V_A=0$时，即A和B对于处于掉期的任何位置都是无所谓的，此时有
$X=\frac{1-d(0,T)}{ \sum\limits^T_{t=1}d(0,t)}$

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Lecture2
远期Forward存在一定的缺点，例如不是由交易所所组织的，因此价格不透明。而且在交易过程中需要恰好有买方和卖方，同时存在违约风险。
此外，由于远期合约Forward Contract的建立时间不同，其相应的价格不同。
因此有了期货Futures
优势：高杠杆高收益，流动性好，标的资产范围广。
劣势：高杠杆高风险，期货的价格近似为标的资产的线性函数，不够灵活（退化为远期）。

例如在0时刻买入期货，价格为$F_0$。当$T$时刻到期时，期货价格$F_T$和现货价格$S_T$相等，即期货合约持有者持有的价值为$S_T - F_0$。此时（即时刻$T$），在现货市场买入与期货内容数量相同的现货，花费$S_T$（这样即达到了持有期货合约者购买到标的资产的目的）。这样期货合约购买者即将未来（时刻$T$）需要购买的标的资产的价格锁定在了当前（时刻0）的期货合约价格$F_0$。
但需要将保证金和由于期货价格波动导致的margin calls考虑在内。（这也是期货价格近似为标的资产的线性函数的原因，如果没有这个因素，期货价格严格为标的资产的线性函数？）

完美的套期保值并不总是存在
例如到期日不一定和期权持有者需要的日期一致，期货合约的不一定是需要货物的整数倍等等。
Basis = 标的资产的即期价格 - 期货合约价格
当存在完美套期保值时，basis=0
当到期日$T$时，basis不等于0，则存在basis risk
当到期日和期货合约到期日不重合时，或期货合约只是一个和标的相关的资产，则basis risk上升。

例如以A为标的资产的期货合约价格为$F_0$，购买$y$份，则在到期日$T$的价值为$(F_T - F_0)y$，而在到期日，与A相类似的资产B的现货（即买者需要的数量）价格为$P_T$。此时买入B，总资产为$C_T = y(F_T - F_0) + P_T$，若$yF_T \neq P_T$，则不存在完美的套期。
总资产$C_T$的方差为
$Var(C_T) = Var(y(F_T-F_0)) + Var(P_T) + 2cov(y(F_T-F_0), P_T)$
$=y^2 Var(F_T) + Var(P_T) + 2ycov(F_T, P_T)$
为了使得方差最小，应满足一阶条件，即
$\frac{d Var(C_T)}{dy} = 0$，即
$y^* = -\frac{cov(F_T, P_T)}{Var(F_T)}$

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Lecture3 期权

$p_E(t;K,T) + S(t) = c_E(t;K,T) + Kd(t,T) \ (*)$
证明如下：
在时刻$t$，做以下几件事情：
1.卖出put option $p(t)$
2.买入call option $c(t)$
3.卖空underlying $S(t)$
4.借出在$T$时刻收回的资金 $Kd(t,T)$
在$T$时刻，有：
$p(t) = \max \{ K-S(T), 0\}$
$c(t) = \max \{ S(T)-K, 0\}$
则在时刻$T$，有$p(t) + S(t) - c(t) - Kd(t,T) = K - S(T) + S(T) - K = 0$
根据无套利的假设，在未来时刻确定得到0收益的证券组合，在建立该组合的时刻$t$，其价值也应为0，即$t$时刻的现金流：
$p(t) - c(t) + S(t) - Kd(t,T) = 0$，可以得到$(*)$

期权的二叉树模型
对于一个三期的二叉树模型，看涨期权在第三期支付$\max \{S_3 - 100, 0\}$，根据风险中性定价，该期权的价格应为$E_0^{\mathbb{P}}[R^{-3} \max \{S_3 -100, 0\}]$，其中$R$为无风险回报。
但人一般都是风险厌恶（即效用函数为上凸的）的，而不是风险中性（效用函数为直线）的。因此该期权的定价应比风险中性定价要低。
St Petersburg悖论即表明人不是风险中性的。Daniel Bernouilli提出的效用函数即解决了这个悖论。
但是市场上的option只有一个价格，应该使用什么样的效用函数？接下来的replicating portfolio可以解决这个问题。

在deterministic world中定义了strong arbitrage和weak arbitrage。在randomness world中定义type A arbitrage和type B arbitrage。
A: $V_0 <0, V_1 \ge 0$即0时刻有收入，1时刻无亏损。
B: $V_0 \le 0, V_1 \ge 0, V_1 \neq 0$即0时刻无亏损，1时刻可能有收入，且1时刻必定不会总是没收入。

在一期的二叉树模型中，只有当$d<R<u$才存在无套利。这里$u$是股票上涨的系数，$d$是股票下跌的系数，$R$是无风险利率。

replicating portfolios
在一个有stock和bond的一期二叉树模型中，0时刻持有$x$份单价为$S_0$的stock，和$y$元的bond。即$C_0 = xS_0 + y$。在1时刻，以该股票价格为标的的看涨期权的价值应为$\max \{S_1 - K, 0\}$。replicating portfolio的思想就是在0时刻建立起来的证券组合(portfolio)，其价值在1时刻应和看涨期权的价值一致（即无论股票是上涨还是下跌，二者应当一致）。这样，根据无套利的假设，0时刻建立起来的证券组合(portfolio)在0时刻的价格应和在0时刻的看涨期权价格一致。
若二者不一致，例如看涨期权价格大于portfolio的价格，则可在0时刻卖空看涨期权，买入portfolio，即0时刻的$V_0 <0$，而在1时刻，看涨期权的价格和portfolio的价格相等，即$V_1 =0$。存在type A的套利。同理可知看涨期权的价格也不能小于portfolio的价格。
这样以来，通过replicating portfolio和no arbitrage的假设，我们找到了可以避免使用效用函数来对期权定价的方法。

同理，可以将对期权的定价推广到以股票为标的的其他衍生品，用replicating portfolio的方式，即在0时刻构建和1时刻衍生品回报相等的portfolio，可以得到方程组

$$\begin{cases} uS_0x + Ry =C_u\\ dS_0x + Ry =C_d \end{cases}$$
（这里的未定权益只能有两种可能取值，即$C_u$和$C_d$，若存在第三种取值例如$C_x$（不妨假设股票价格除了上涨和下降还可以保持不变），则当市场上仅有股票和债券这两种线性无关的资产时，方程组超定，即仅使用股票和债券两种资产无法复制1时刻的payoff）
可以解得：
$C_0 = \frac{1}{R}[\frac{R-d}{u-d}C_u + \frac{u-R}{u-d}C_d] = \frac{1}{R}[\color{red}{q}C_u + \color{red}{(1-q)}C_d] = \frac{1}{R} \mathsf{E}_0^{\mathbb{\color{red}{Q}}}[C_1]$
这里的概率$\{q, 1-q\}$是风险中性概率（结合上面的内容，由St Petersburg悖论可知，当价格确实等于未来期望收益的折现时，这里用于计算期望的概率即是风险中性概率，即在这样的概率赋值情况下，agent是风险中性的，否则，agent认为的合适价格应当低于未来期望收益的折现），由上式即可计算得到该衍生品在0时刻的无套利价格。

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主要介绍了swaps掉期，futures期货，options期权的概念，以及根据无套利的假设对其进行了定价。