数论基础

本文介绍了数论中的基本概念,包括互质、欧拉函数和模运算中的阶与原根。欧拉函数φ(n)表示小于或等于n且与n互质的正整数个数,而原根则是满足特定条件的模运算元素。欧拉定理阐述了互质元素的幂次与欧拉函数的关系。这些概念在数论和加密算法中扮演着重要角色。

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概念

互质

定义:设整数 aaabbb,若 aaabbb公因数只有 111,则称 aaabbb 互质。

欧拉函数

定义:设正整数 nnn,欧拉函数是小于或等于 nnn正整数中与 nnn 互质的数的数目,记为 φ(n)φ(n)φ(n)(其中φ(1)=1φ(1)=1φ(1)=1)。

定义:设 m>1m>1m>1,且 gcd(a,m)=1gcd(a,m)=1gcd(a,m)=1(即 aaammm 互质),那么使得 ar≡1(modm)a^r≡1(modm)ar1(modm) 成立的最小的正整数 rrr 称为 aaa 对模 mmm 的阶,记为 δm(a)δ_m(a)δm(a)

原根

定义:设正整数 mmm,整数 aaa,若 δm(a)=φ(m)δ_m(a)=φ(m)δm(a)=φ(m),则称 aaa 为模 mmm 的一个原根。(其中 φ(m)φ(m)φ(m) 表示 mmm 的欧拉函数)

定理

欧拉定理(Euler’s theorem)

       若正整数 a 和整数 m 互质,则 aφ(m)≡1(modm)a^{φ(m)}≡1(modm)aφ(m)1(modm)



参考链接:
https://www.cnblogs.com/cytus/p/9296661.html

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