11、偏微分方程数值解法详解

偏微分方程数值解法详解

1. 特征函数与特征值计算

在数值求解偏微分方程时，特征函数和特征值的计算是重要的基础。以下是一段用于计算特征函数和特征值，并进行比较和绘图的代码：

[V, D] = eigs(-D2, 6, 'sm');
[lam,ndx]= sort(diag(D)');
[JJ, KK] = meshgrid(1:3,1:3);
lam2 = sort(reshape(JJ.^2 + KK.^2, 1, 9) * pi^2);
fprintf('\n%s\n%s\n',num2str(lam), num2str(lam2(1:6)));
u = reshape(V(:,ndx(3)), N, N);
surf(u);

这段代码的主要步骤如下：
1. 使用 eigs 函数计算矩阵 -D2 的6个最小特征值和对应的特征向量。
2. 对特征值进行排序，并提取排序后的索引。
3. 生成一个3x3的网格，并计算相应的特征值。
4. 打印计算得到的特征值和理论特征值进行比较。
5. 提取排序后的第3个特征向量，并将其重塑为二维矩阵。
6. 使用 surf 函数绘制特征函数的三维图形。

另外，为了给特征函数添加边界值并绘制带有坐标的图形，可以使用以下代码：

u=[zeros(1,N+2);zeros(N,1),u,zeros(N,1);zeros(1,N+2)]