5、MATLAB数值计算方法与应用详解

MATLAB数值计算方法与应用详解

1. 高阶差分与符号计算

在推导有限差分公式时，需要对拉格朗日多项式求导，这时可以在MATLAB中引入符号计算。虽然本文中符号计算的篇幅不多，但它非常实用。这里生成了五点一阶和二阶差分公式。

五点一阶差分公式为：
[y’(x_i) = P’ 4(x_i) = \sum {j=0}^{n} \frac{c_j y_j}{12(dx)} + O((dx)^4), i \in {0, \ldots, 4}]

五点二阶差分公式为：
[y’‘(x_i) = P’‘ 4(x_i) = \sum {j=0}^{n} \frac{c_j y_j}{12(dx)^2} + O((dx)^4), i \in {0, \ldots, 4}]

以下是五点一阶和二阶差分系数表：
| 类型 | (i = 0) | (i = 1) | (i = 2) | (i = 3) | (i = 4) |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 一阶前向差分 | -25 | -3 | 1 | -1 | 3 |
| 一阶前向偏斜差分 | 48 | -10 | -8 | 6 | -16 |
| 一阶中心差分 | -36 | 18 | 0 | -18 | 36 |
| 一阶后向偏斜差分 | 16 | -6 | 8 | 10 | -48 |
| 一阶后向差分 | -3 | 1 | -1 | 3 | 25 |

类型