11、大规模系统交互分析的增益阵列方法

大规模系统交互分析的增益阵列方法

1. 引言

在控制系统研究中，频率分析工具在 20 世纪 80 年代重新回到了前沿。为了评估多变量系统中操纵变量和被控变量之间的相互作用，有多种方法可供选择。其中，相对增益阵列（RGA）是分析多变量系统相互作用最著名的技术之一，后续还有相对动态阵列（RDA）、平均相对增益（ARG）以及动态块相对增益阵列（DBRG）等相关方法的发展。

2. 相对增益阵列（RGA）

2.1 公式

相对增益阵列（RGA）基于工厂的稳态增益矩阵。给定一个工厂传递函数矩阵 (G(s) \in R^{n\times n}(s))，在稳态时，(G(0) = G \in R^{n\times n})，假设 (G) 是非奇异且有限的，RGA 定义为：
(\varPhi = [\varphi_{ij}] \in R^{n\times n})
(\varphi_{ij} = g_{ij}(0)\hat{g} {ji}(0))
其中，(g {ij}(0)) 是 (G(0) \in R^{n\times n}) 的第 (i) 行第 (j) 列元素，(\hat{g}_{ji}(0)) 是 ([G(0)]^{-1} \in R^{n\times n}) 的第 (j) 行第 (i) 列元素。

相对增益定义为输入 (u_j) 和输出 (y_i) 之间的增益：
(\varphi_{ij} = \frac{(\frac{\partial y_i}{\partial u_j}) {u_k = 0; k \neq j}}{(\frac{\partial y_i}{\partial u_