5、图论与考克斯特群相关知识解析

图论与考克斯特群相关知识解析

1. 图的基本概念与性质

1.1 连通性与子集划分

假设图 ( \Gamma ) 是连通的，对于具有特定性质的顶点集划分 ( (S’, S”) ) 进行分析。根据相关命题可知，集合 ( S’ ) 至少包含一个连通分量，若 ( S’ ) 包含的连通分量情况不符合条件，比如 ( S’ = S ) 且 ( S” = \varnothing ) 时，就会产生矛盾。

1.2 连通分量推论

对于集合 ( S ) 的子集 ( S’ )，它是连通分量的并集当且仅当属于 ( S’ ) 的任何顶点都不与属于 ( S - S’ ) 的顶点相连。该条件的充分性可由相关命题的 (iv) 部分推出，必要性则由 (iii) 部分得出。

1.3 森林与树的定义

设 ( \Gamma = (A, S) ) 为一个图，其回路是指由不同顶点构成的序列，满足 ( n \geq 3 )，顶点 ( x_i ) 与 ( x_{i + 1} ) 相连（( 1 \leq i < n )）且 ( x_n ) 与 ( x_1 ) 相连。若图 ( \Gamma ) 中不存在回路，则称其为森林，森林的每个子图也都是森林。连通的森林被称为树，森林的连通分量即为树。

1.4 森林的性质

1.4.1 存在终端顶点

若森林 ( \Gamma ) 至少有一个顶点，那么它必有一个终端顶点。设 ( (x_0, \cdots, x_n) ) 是 ( \Gamma ) 中长度最大的单射路径，顶点 ( x_0 ) 不能与不同于 ( x_0, x_1, \cdots, x_n ) 的顶