10、图论知识全解析

图论知识全解析

1. 图的基本概念

图是由顶点集 (V) 和边集 (E) 组成的对，记为 (G=(V, E))。其中，顶点集 (V) 包含图的所有顶点（节点），边集 (E) 包含连接某些顶点对的边（弧）。如果一个图没有环（即边的起点和终点为同一顶点）和多重边（连接同一对顶点的多条边），并且顶点集和边集都是有限的，那么这个图被称为简单图。用点表示图的顶点，用线段或弧表示边所构成的图形，称为图的图示。

若图中的两个顶点 (u) 和 (v) 由一条边 (r = uv) 连接，则称这两个顶点相邻，此时 (u) 和 (v) 是边 (r) 的端点。如果顶点 (v) 是边 (r) 的端点，那么称 (v) 和 (r) 是关联的。顶点 (v) 的度 (d(v)) 是与该顶点关联的边的数量。

我们用 (\delta(G)) 表示图 (G(V, E)) 中顶点的最小度，用 (\Delta(G)) 表示最大度：
(\delta(G(V, E)) = \min_{v\in V} d(v))
(\Delta(G(V, E)) = \max_{v\in V} d(v))

如果图中所有顶点的度都等于 (\alpha)，则称该图为度为 (\alpha) 的正则图。

2. 图的矩阵表示

• 邻接矩阵 (M) ：简单图 (G(V, E)) 的邻接矩阵 (M) 是一个逻辑矩阵，其大小为 (|V|\times|V|)，元素由以下规则确定：
  [
  M(i, j) =
  \begin{cases}
  T, & \text{如果边 } ij \in E \