递推/递归 + 深度优先搜索DFS

lhcin_74442610

已于 2025-04-11 21:27:56 修改

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分类专栏：算法文章标签：算法深度优先

于 2025-03-20 21:02:26 首次发布

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知识点

解题思想

“顺序”，两种思路：①依次枚举每个位置放哪个数，②依次枚举每个数放哪个位置。
最好画出递归树。

注意事项

在递归函数dfs()里，先写递归边界条件，后写主体。
有时候需要“剪枝”。

题目

跳台阶
一个楼梯共有 n 级台阶，每次可以走1级或者2级，问从第0级台阶走到第n级台阶一共有多少种方案。
分析：枚举n=1、2、3...时对应的方案数，可以发现其实就是斐波那契数列！
```
int f(int n){
    if(n==1) return 1;
    if(n==2) return 2;
    return f(n-1)+f(n-2);
}
```

递归实现指数型枚举
从 1∼n 这 n 个整数中随机选取任意多数个输出，输出所有可能的选择方案。（可以全选，也可以全不选。）
分析：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//每个数选或不选，可以用二进制枚举做，但此处用递归dfs
int n;
int st[20]={0};     //每个数字的状态：0还未考虑到，1选，2不选

void dfs(int x)    //当前考虑到了数字x
{
    //递归边界
    if(x>n){    //前n个已经选完
        for(int i=1;i<=n;i++){   //注意i从1开始
            if(st[i]==1)
                cout << i << " ";
        }
        cout << endl;
        return ;
    }
    //以下相当于节点x的两个分支，并模拟回溯的过程
    //选x
    st[x]=1;
    dfs(x+1);   //考虑x+1
    st[x]=0;   //回溯到x节点处
    
    //不选x
    st[x]=2;
    dfs(x+1);
    st[x]=0;
}

int main(){
    cin >> n;
    dfs(1);    //从数字1开始
    return 0;
}

递归实现排列型枚举
按字典序输出n的全排列的所有可能方案。（例如132>123，则先输出123，再输出132）
分析：依次枚举每个位置放哪个数，先枚举第一个位置，再第二个，最后第三个。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int st[10]={0};   //某个数的情况,1表示已经选过，0表示没被选过
int arr[10]={0};   //最后输出的排列

void dfs(int x){   //考虑到第x个位置
  if(x>n){
    for(int i=1;i<=n;i++)
      cout << arr[i] << " ";
    cout << endl;
    return ;
  }

  for(int i=1;i<=n;i++){
    if(st[i]==0){  //数i未被使用
      arr[x]=i;   //位置x处放数i
      st[i]=1;  //改变数i的状态为已用
      dfs(x+1);
      st[i]=0,arr[x]=0; //回溯，恢复
    }
  }
}

int main()
{
  cin >> n;
  dfs(1);    
  return 0;
}

递归实现组合型枚举
题目：P1157 组合的输出 - 洛谷
分析：①依次枚举每个位置放哪个数。②要保证后一个位置上的数比前一个位置的数大，所以dfs函数需要有第二个参数start，来继续当前位置上的数从哪儿开始。③注意一些代码具有隐形的含义或规避条件，例如x>r时说明前r个数是合理的，for(int i=start;i<=n;i++) 当start>n时，这个循环进不去，会return。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=25;
int n,r;
int ans[MAX]={-1};    //存需要输出的组合数

void dfs(int x, int start){    //当前枚举到第x位，当前位置只能从数字start开始枚举
    //剪枝：剩下的数填不了剩下的空位
    if(n-start < r-x)  return;
    //if(x==1 && start>n-r+1)  return;
    
    //边界，x>r时说明前r个数是合理的
    if(x>r){
        for(int i=1;i<=r;i++)
            cout << setw(3) << ans[i];   //或者printf("%3d",ans[i]);
        cout << endl;
        return;
    }
    
    //选数
    for(int i=start;i<=n;i++){    //当start>n时，这个循环进不去，会return
        ans[x]=i;    //第x位放i
        dfs(x+1,i+1);   //第x+1位只能从i+1开始
        //ans[x]=-1;   //回溯到第x位未考虑的状态
    }
    return;
}

int main(){
    cin>>n>>r;
    dfs(1,1);  //从第1位和数字1开始
    return 0;
}

选数
题目：P1036 [NOIP 2002 普及组] 选数 - 洛谷
分析：本质是选组合数，相加并判断是否为素数，最后输出是素数的组合数的个数。在上一题的基础上进行修改即可。

//判断num是否为素数，非最好的判断方法
bool is_prim(int num){
    if(num<2)   //1不是素数
        return false;

    for(int i=2;i<=num/i;i++){
        if(sum%i==0)   //num存在除了1和自身以外的因子，不是素数
            return false;
    }
    return true;
}

N皇后问题
题目：0N皇后问题 - 蓝桥云课
分析：以行x为基准进行dfs，而不是以点(x,y)。注意每一行、每一列只能放一个皇后。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int q[11][11];  //0表示无皇后，1表示有皇后
long long cnt = 0;

//检查在(x, y)放皇后是否合法，注意第x行之后的行还未放皇后，所以不用检查
bool isValid(int x, int y) {
    //检查列
    for (int i=1; i<x; i++) {
        if (q[i][y] == 1) return false;
    }
    //主对角线
    for (int i=x-1, j=y-1; i>0 && j>0; i--,j--) {
        if (q[i][j] == 1) return false;
    }
    //副对角线
    for (int i=x-1, j=y+1; i>0 && j<=n; i--,j++) {
        if (q[i][j] == 1) return false;
    }
    return true;
}

void dfs(int x) {  //当前考虑到第x行
    if (x > n) {
        cnt++;
        return;
    }

    for (int y = 1; y <= n; y++) {  //在第x行的每一列放置皇后
        if (isValid(x, y)) {
            q[x][y] = 1;  //放皇后
            dfs(x + 1);   //递归到下一行，因为一行只能放1个皇后
            q[x][y] = 0;  //回溯，移除皇后
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    memset(q, 0, sizeof(q));
    dfs(1);  // 从第1行开始
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}