积分的技巧（二）

最新推荐文章于 2025-04-03 14:31:57 发布

雨夜陌路萧郎

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分类专栏：高等数学文章标签：笔记经验分享

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本文主要介绍针对三角函数积分中常见的形如 $sin^{m}x$ 、 $cos^{n}x$ （ $m,n$ 为正整数）这种倍角积分的求解方法，也就是倍角法。其核心思想就是降幂，将高次幂的积分降为一次幂的积分，然后再次求解积分。

倍角法其实就是棣莫弗公式的巧用，我们来看一下棣莫弗公式，如下

$\left ( cosx+isinx \right )^{n}=\cos nx+i\sin nx$

如果我们令

$\cos x+i\sin x=t$

我们稍微变换一下，取一下倒数，就有

$\cos x-i\sin x=\frac{1}{t}$

我们将上述两个式子联立求解可得

$2\cos x=t+\frac{1}{t}$ 、 $2i\sin x=t-\frac{1}{t}$

如果将那两个式子代入棣莫弗公式就有

$t^{n}=\cos nx+i\sin nx$

$\frac{1}{t^{n}}=\cos nx-i\sin nx$

我们将新得来的两个式子联立求解可得

$2\cos nx=t^{n}+\frac{1}{t^{n}}$ 、 $2i\sin nx=t^{n}-\frac{1}{t^{n}}$

上述这些巧用棣莫弗公式变换得来的式子就是后面倍角法会用到的。

接下来我们举几个例子来实操一下这个倍角法。我们先看这个积分 $\int \sin ^{8}xdx$ ，既然使用倍角法，那么我们就得降幂，结合之前变换得到的式子 $2i\sin x=t-\frac{1}{t}$ ，于是就有

$2^{8}i^{8}sin^{8}x=(t-\frac{1}{t})^{8}$

我们使用二项式定理展开一下，就有

$(t-\frac{1}{t})^{8}=(t^{8}+\frac{1}{t^{8}})-8(t^{6}+\frac{1}{t^{6}})+28(t^{4}+\frac{1}{t^{4}})-56(t^{2}+\frac{1}{t^{2}})+70$

接下来我们结合式子 $2\cos nx=t^{n}+\frac{1}{t^{n}}$ 就可以实现降幂

$(t-\frac{1}{t})^{8}=2\cos 8x-16\cos 6x+56\cos 4x-112\cos 2x+70$

现在降幂之后的一次幂的三角函数积分求解起来就比较简单了。

结合上述式子，求解积分 $\int \cos ^{4}xdx$ 应该会有所心得，我们来看一个新的例子，即求解积分 $\int \cos ^{5}xdx$ ，我们先结合式子 $2\cos x=t+\frac{1}{t}$ ，于是就有

$2^{5}\cos^{5}x=(t+\frac{1}{t})^{5}$

我们还是使用二项式展开，即

$(t+\frac{1}{t})^{5}=(t^{5}+\frac{1}{t^{5}})+5(t^{3}+\frac{1}{t^{3}})+10(t+\frac{1}{t})$

接着结合式子 $2\cos nx=t^{n}+\frac{1}{t^{n}}$ 即可实现降幂

$(t+\frac{1}{t})^{5}=2\cos5x+10\cos3x+20\cos x$

这样子就可以简单地求解原积分了。

上述列举的三个例子以供大家熟悉倍角法求积分的过程。但是要说明的是鉴于该式子

$2i\sin x=t-\frac{1}{t}$

将正弦函数与虚数 $i$ 结合在一块，遇到求解正弦函数偶次幂积分的时候，虚数 $i$ 经过偶次幂之后可以消除，所以不必顾虑；但是遇到求解正弦函数奇次幂时，虚数 $i$ 经过奇次幂之后仍旧保留，无法消除，故倍角法还是适用于正弦函数的偶次幂。对于余弦函数，由于式子 $2\cos x=t+\frac{1}{t}$ 没有将余弦函数与虚数绑在一起，所以就不用顾虑虚数是否会被消除，倍角法适用于余弦函数的奇、偶次幂。