一元线性回归的拟合问题：代价函数与梯度下降

一元线性回归是一种简单而强大的统计模型，用于探索两个变量之间的线性关系。在一元线性回归的拟合问题中，代价函数和梯度下降是两个核心概念。

一元线性回归的基本概念：

一元线性回归是一种简单的回归分析方法，用于建立两个变量之间的线性关系。在一元线性回归中，有一个自变量（输入变量）和一个因变量（输出变量）。其基本假设是自变量与因变量之间存在线性关系。

代价函数（成本函数）：

代价函数是一种衡量模型预测值与真实值之间差异的函数。在一元线性回归中，常用的代价函数是均方误差（Mean Squared Error，MSE）。其定义如下：

若有m个样本数据，记预测值为y_hat，真实值为y，则均方误差计算公式如下：

其中，hθ​(x(i)) 是回归模型的预测值，表示通过参数 θ 对输入 x(i) 进行预测得到的输出值。

梯度下降：

梯度下降是一种迭代优化算法，用于最小化代价函数。其基本思想是沿着代价函数的梯度方向逐步调整参数，直至达到代价函数的最小值。在一元线性回归中，梯度下降的更新规则如下：

其中，α 是学习率（控制参数更新的步长），J(θ)∂/∂θj​ ​ 是代价函数对参数 θj​ 的偏导数。

假设函数：

在一元线性回归中，假设函数 hθ​(x) 表示输入 x 与参数 θ 的线性组合。其数学表达式如下：

其中，θ0​ 和 θ1​ 是回归模型的参数，分别对应于截距和斜率。

最大似然估计：

在一元线性回归中，通常使用最小化均方误差的方法来估计模型参数。最小化均方误差等价于最大化样本数据的似然函数。

如果我们假设样本数据的观测误差服从均值为0的正态分布，那么最小化均方误差就相当于最大化样本数据的似然函数。因此，最小化均方误差可以通过最大似然估计来解释。

数学定义：

• 假设函数（Hypothesis Function）：
• 代价函数（Cost Function）：
• 梯度下降更新规则（Gradient Descent Update Rule）：

在实际应用中，您可以根据以上定义，利用梯度下降算法来求解一元线性回归模型的参数 θ0​ 和 θ1​，从而实现对数据的拟合。

具体步骤如下所示：

1. 初始化参数： 随机初始化参数 θ0​ 和 θ1​。
2. 计算代价函数的梯度： 计算代价函数 J(θ) 对参数 θ0​ 和 θ1​ 的偏导数。偏导数表示了在当前参数值下，代价函数的变化率。
3. 更新参数： 根据梯度下降的更新规则，更新参数 θ0​ 和 θ1​：(需要同步更新) 其中，α 是学习率，控制参数更新的步长。
4. 重复步骤2和步骤3： 反复执行步骤2和步骤3，直到达到最大迭代次数或者达到收敛条件（梯度变化很小）为止。

通过以上步骤，可以逐步优化参数 θ0​ 和 θ1​，使得假设函数 hθ​(x) 对数据的拟合效果最优。这样就实现了对数据的拟合，从而得到了一元线性回归模型。

PS：在实际应用中，梯度下降算法可能会受到学习率选择、初始参数值选择、迭代次数等因素的影响，需要根据具体情况进行调参和优化。