G - Outing （tarjan + 分组背包）

传送门

思路：

        这个题比较容易想到的是求最小环，还有就是并查集。但是很难想到如何处理。

        我们把它一步步来做，因为有人数限制，然后我们又能将人群分成一个又一个的集合，所以可以想到背包问题。然后，我们要如何去划分这一个个集合？

        我们首先要找出每一个集合最小的情况。因为它的出度只能是 1，所以不可能形成两个环相交的情况，只能是在形成一个环后，又会有一些零散的点连在这个环上。于是，我们可以求出这个最小环作为选择这个集合就必须要加的最小值，然后再通过并查集求出这个集合可以加的最大值。并且在min~max这个区间中每个值都能取到。对于这一个个的集合求出满足客车容量的最大加和（分组背包）。

        因此我们要先去求最小环，用tarjan。（一个灰常不错的视频：tarjan学习链接）然后通过并查集处理，最后分组背包。、

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4+5;
#define int long long
typedef pair<int, int>PII;
int n, m, k;
int T;
int a[N];
vector<int>v[N];
int dfn[N], low[N], sta[N];
int cnt, top;
bool st[N];
int id[N], sz[N], tt;
int p[N];
map<int, PII>mp;
int f[N];
void tarjan(int u)
{
    dfn[u] = low[u] = ++cnt;
    sta[top++] = u;  //入栈
    st[u] = true; //标记，在栈中
    for(int i = 0; i < v[u].size(); i ++)
    {
        int t = v[u][i];
        if(!dfn[t])
        {
            tarjan(t);
            low[u] = min(low[u], low[t]);
        }
        else if(st[t])
        {
            low[u] = min(low[u], low[t]);
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        tt++;
        while(1)
        {
            int y = sta[top-1];
            top--;
            id[y] = tt;    //将同一个环中的元素设置相同的编号
            sz[tt] ++;     //并且记录相同编号的集合中元素个数
            st[y] = false;
            if(y==u) break;
        }
    }
}
int find(int x)
{
    if(x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> a[i];
        v[i].push_back(a[i]); //建图
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        if(!dfn[i]) tarjan(i); //缩点
    }
    //并查集
    for(int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x = id[i], y = id[a[i]];//如果不在一个集合，就加到同一个集合中
        if(find(x) != find(y))
            p[find(x)] = find(y);
    }

    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        //求出分组背包的最小值，这个题中分组背包的结构是一个环，然后会有一个个点连在环上（这一个个点可能会形成链，但不会形成环）
        //所以最小值是这个环本身，最大值是并查集得到的这个集合。并且min~max这个区间中，任何一个值都能被取到，因为是一个个的点加到环上去的
        mp[find(i)].first = max(mp[find(i)].first, sz[i]);
        mp[find(i)].second += sz[i];//分组背包的最大值
    }
    //分组背包（模板）
    for(auto z : mp)
    {
        for(int i = m; i >= 0; i --)
        {
            for(int j = z.second.first; j <= z.second.second; j ++)
            {
                if(i >= j) f[i] = max(f[i], f[i - j] + j);
            }
        }
    }
    cout << f[m] << "\n";
    return 0;
}