【自动驾驶】车辆横向控制模型——动力学模型

Coding哈基米

已于 2025-02-10 23:57:30 修改

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分类专栏：自动驾驶控制算法文章标签：人工智能自动驾驶算法

于 2025-02-10 23:54:32 首次发布

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一、运动学模型的局限性

1.忽略质心侧偏角

运动学方程的前提是低速条件，在低速条件下认为车不会发生侧向滑动，即车不会漂移，所以认为 $v_y \approx 0$

根据定义，质心侧偏角：

$\beta=\arctan \frac{v_y}{v_x}=0$

而在高速情况下，质心侧偏角不能被忽略，因为质心侧偏角可以反映车辆的姿态变化，过大或者过小都可能导致车辆失去稳定性，通过监控质心侧偏角，可以提高车辆在转弯时的稳定性，合适的侧偏角可以使车辆更容易控制，提高驾驶员对车辆的操控性和响应度。

2.忽略轮胎特性

在高速行驶条件下，车辆的运动学模型可能不够准确，最主要的原因是没有考虑到轮胎特性。在高速情况下，不能把轮胎看成完全刚性的轮胎，因为在低速情况下轮胎变形不大，可以近似为钢铁轮胎，而高速情况下轮胎变形比较大，所以会有很大误差。此时，需要分析车辆的动力学模型，尤其是轮胎的受力平衡，以更精确地捕捉车辆的运动关系。

二、二自由度车辆动力学模型

1.基本假设

纵向速度保持恒定。
左右车轴合并为单一车轮（即自行车模型）。
忽略悬挂运动、道路倾斜以及空气动力学影响。
纵向与横向运动解耦。

2.轮胎侧偏特性

轮胎变形在汽车领域中的专门术语叫轮胎的侧偏特性，看下面的轮胎三视图：

当轮胎装在车上时，地面给轮胎一个力 $F$ ，车也会给轮胎一个反作用力 $F'$ ，但是轮胎相对钢铁来说比较软，所以受到力会变形成这样：

它不是严格意义上的圆柱体，因为变形等效成圆台。

为什么圆柱有了这样的变形，就会等效成一个圆台呢？

圆台转 180 °，也就是前进 180 °，它还是这样：

这就符合轮胎的特性，轮胎转 180 °还是会受到这样的侧压力。

但是变成圆台有一个很麻烦的事情，圆台不能走直线，只能走圆弧，会导致一个什么样的一个结果呢？

看下面的轮胎俯视图：

本来轮胎按照 $v$ 的方向直线前进，但由于侧向力的作用，它不是圆柱，变成圆台了，所以实际上轮胎按照红色箭头方向走，存在一个侧偏角 $\alpha$ ，即轮胎实际速度 $v$ 和轮胎横截面之间的夹角。

定义一个新的物理量：侧偏刚度 $C$ ，反映轮胎的软硬程度。侧偏刚度乘以侧偏角等于侧向力：
$F=C\alpha$
力越大，轮胎变形越厉害，圆台就越斜，侧偏角也就越大，力除以侧偏角定义为侧偏刚度。

就像弹簧一样，弹簧的力越大，它的位移也就越大，力除以位移定义为弹簧刚度，那么对于轮胎也一样。

注意，侧偏刚度一定是负数，因为坐标系都是右手系，看下面建立的右手系俯视图：

侧向力 $F$ 指向 $y$ 轴负方向，所以负的侧向力会导致正的侧偏角。

注意：在《汽车理论》中，采用的是右手坐标系，轮胎侧偏刚度是一个负数，所以一个正向的侧偏力会导致轮胎负的侧偏角。

而在百度Apollo代码中，采用了左手坐标系，定义轮胎的侧偏刚度是正值，导致同一侧偏角在右手系中为负值，在左手系中成了正值，于是正的侧偏角x正的侧偏刚度=正的侧向力。这样结果又变成一样了。

一般通过做轮胎实验得到侧偏刚度，侧偏刚度是一个比较难以估计准的参数，实际上就是把轮胎等效于一个特殊的弹簧，认为侧偏角和力呈线性关系，但实际上因为轮胎是橡胶，并不是理想弹簧，所以在比较极限的工况下，侧向力和侧偏角并不成正比例关系。而且更重要的一点是侧偏刚度和轮胎的垂向力息息相关。但是在比较平缓的工况，可以认为侧向力和侧偏角是线性关系，并且侧偏刚度是常数。

很多文章会把侧向力和侧偏力这两个概念搞混，这里我来强调一下：

图中：

$F_Y$ ：侧偏力，地面作用于车轮的力，作用点在轮胎和地面接触处
$F_y$ ：侧向力，车身作用于车轮的力，作用在车轮的中心

两者大小相等，平行但不共线

如果在 $A_0$ 点列力矩方程的话，可以得到 $F_y$ 会对 $A_0$ 点产生一个向左的力矩，这也是为什么轮胎会侧偏的原因之一。

侧偏力与侧偏角的关系如下图所示。可以发现，在侧偏角比较小的情况下，几乎是线性关系，当达到一定侧偏角以后，即接近于饱和。

3.动力学方程推导

由于车身坐标系不是惯性系，沿车身y轴的加速度是惯性加速度。那么有两个因素影响它，分别是沿着y轴的运动加速度，也就是我们的 $\dot{v}_y$ 。另外一个就是我们这个向心加速度。我们可以把车看成是在绕着圆心O在做一个旋转的运动。假设我们的这个O到质心的半径是R那么这部分向心加速度就等于 $\frac{v_x^2}{R}$ 。

$a_y=\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}\right)_{\mathrm{}}=\dot{v}_y+\frac{v_x^2}{R}=\dot{v}_y+v_x \dot{\psi}$

另一种解释：

车身y轴受力平衡：

$\sum F_y=\left(F_{y f} \cos (\delta)-F_{x f} \sin (\delta)\right)+F_{y_{\Gamma}}=m a_y=m\left(\dot{v}_y+v_x \dot{\psi}\right)$

质心力矩平衡：

$\sum M=\ell_f\left(F_{y f} \cos (\delta)-F_{x f} \sin (\delta)\right)-\ell_r F_{y r}=I_z \ddot{\psi}$

$\psi$ 为偏航角，即车身与大地坐标系x轴夹角，在后面我们用 $r$ 来表示。

再把侧向力写成侧偏刚度乘以侧偏角的形式（在这里认为侧偏角是正的）：

$F_{y f}= c_f \alpha_f= c_f\left(\delta-\theta_{v f}\right)$

$F_{y r}= c_r \alpha_r= c_r\left(-\theta_{v r}\right)$

其中

$\delta$ ：前轮转角
$\theta_{v f}$ ：前轮速度与车身夹角
$\theta_{v r}$ ：后轮速度与车身夹角

现在我们来计算 $\theta_{v f}$ 和 $\theta_{v r}$

分别把前后轮的速度移到质心处，由刚体旋转运动+平移运动速度，及速度投影定理可得

刚体旋转运动+平移运动速度公式推导（一） - 知乎

$v_{f y}-v_y=r \cdot l_f$

$v_{r y}-v_y=r \cdot l_r$

带入到前后轮转角可得：

$\theta_{v f}=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{f y}}{v_{f x}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_y+l_f r}{v_x}\right)$

$\theta_{v r}=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{r y}}{v_{r x}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_y-l_r r}{v_x}\right)$

侧偏角：

$\alpha_f=\delta-\tan ^{-1}\left(\frac{v_y+\ell_f r}{v_x}\right)$

$\alpha_r=-\tan ^{-1}\left(\frac{v_y-\ell_r r}{v_x}\right)$

侧偏力：

$F_{y f}=\mathrm{c}_f \alpha_f=\mathrm{c}_f\left[\delta-\tan ^{-1}\left(\frac{v_y+\ell_f r}{v_x}\right)\right]$

$F_{y r}=c_r \alpha_r=-c_r \tan ^{-1}\left(\frac{v_y-\ell_r r}{v_x}\right)$

代入之前受力平衡和力矩平衡式子：

$\dot{v}_y=\frac{c_f\left[\delta-\tan ^{-1}\left(\frac{v_y+\ell_f r}{v_x}\right)\right] \cos (\delta)-c_r \tan ^{-1}\left(\frac{v_y-\ell_r r}{v_x}\right)-F_{x f} \sin (\delta)}{m}-v_x r$

$\dot{r}=\frac{\ell_f c_f\left[\delta-\tan ^{-1}\left(\frac{v_y+\ell_f r}{v_x}\right)\right] \cos (\delta)+\ell_r c_r \tan ^{-1}\left(\frac{v_y-\ell_r r}{v_x}\right)-l_f F_{x f} \sin (\delta)}{I_z}$

由于在高速情况下，前轮转角很小，所以做出如下假设：

$\left\{\begin{array}{c} \cos (\delta) \approx 1 \\ \sin (\delta) \approx 0 \\ \tan ^{-1}(\theta) \approx \theta \end{array}\right.$

化简可得：

$\dot{v}_y=\frac{-c_f v_y-c_f \ell_f r}{m v_x}+\frac{c_f \delta}{m}+\frac{-c_r v_y+c_r \ell_r r}{m v_x}-v_x r$

$\dot{r}=\frac{-\ell_f c_f v_y-\ell_f^2 c_f r}{I_z v_x}+\frac{\ell_f c_f \delta}{I_z}+\frac{\ell_r c_r v_y-\ell_r^2 c_r r}{I_z v_x}$

有人可能会觉得这种近似真的可以接受吗？

一般开车时：

转直角弯时，转弯半径为 $8-10 m$
变道时，转弯半径为 $20-30 m$

可以用 $\tan \delta=\frac{L}{R}$ 来验证，车的轴距一般都是 $3m$ ，我们把转弯半径为 $10m$ 和 $30m$ 分别代入，可以得到， $\cos \delta \approx 0.96$ ， $\cos \delta \approx 0.99$ ，可以接受。

用状态 $\mathrm{X}=\left[\begin{array}{c} v_y \\ r \end{array}\right]$ 改写成状态空间方程

$\dot{v}_y=\frac{-\left(c_f+c_r\right)}{m v_x} v_y+\left[\frac{\left(l_r c_r-l_f c_f\right)}{m v_x}-v_x\right] r+\frac{c_f}{m} \delta$

$\dot{r}=\frac{l_r c_r-l_f c_f}{I_z v_x} v_y+\frac{-\left(\ell_f^2 c_f+\ell_r^2 c_r\right)}{I_z v_x} r+\frac{l_f c_f}{I_z} \delta$

$\left[\begin{array}{c} v_y \\ \dot{r} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \frac{-\left(c_f+c_r\right)}{m v_x} & \frac{\left(l_r c_r-l_f c_f\right)}{m v_x}-v_x \\ \frac{l_r c_r-l_f c_f}{I_z v_x} & \frac{-\left(\ell_f^2 c_f+\ell_r^2 c_r\right)}{I_z v_x} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} v_y \\ r \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} \frac{c_f}{m} \\ \frac{l_f c_f}{I_z} \end{array}\right] \delta$

另一种形式：

$X=\left[\begin{array}{l} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right],\dot{X}=A X+B \delta$

$\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{c} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\left(c_f+c_r\right)}{m v_x} & 0 & \frac{\left(l_r c_r-l_f c_f\right)}{m v_x}-v_x \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{l_r c_r-l_f c_f}{I_z v_x} & 0 & \frac{-\left(\ell_f^2 c_f+\ell_r^2 c_r\right)}{I_z v_x} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 0 \\ \frac{c_f}{m} \\ 0 \\ \frac{l_f c_f}{I_z} \end{array}\right] \delta$

本博客可能与其他博主推导的状态方程不一样，差别在以下两点：

1、侧偏刚度相差两倍
本篇博客只考虑了两个轮子,虽然是自行车模型，但实际的车辆并不是真的自行车，所以每个侧偏刚度 $\alpha$ 都要乘以 2 ，相当于两个轮子合并在一起的自行车模型。

2、侧偏刚度和侧偏角相差负号
除此之外其他都一样，这是为什么呢？一般的车辆工程的关于车辆动力学知识都认为侧偏刚度是负的，在汽车理论里就明确的写出了侧偏刚度永远是负的。
阿波罗的代码或者在《车辆动力学及控制》这本书里，认为侧偏刚度是正的，所以相差一个负号，其实无论正和负，得到的结果都一样。

三、动力学模型中的参数测量

与之前的模型不同，动态自行车模型 中的某些参数不易直接测量。为了获得合理的估计，可以使用一些常见的工具，像是通过四个秤（每个车轮下）来估算。这样的方法能帮助确定重要参数，如车辆的质心和 转动惯量。

1.质心估算

$\left\{\begin{array}{l} \ell_f=L\left(1-\frac{m_f}{m}\right) \\ \ell_r=L\left(1-\frac{m_r}{m}\right) \end{array}\right.$
$\begin{aligned} & m=m_{f r}+m_{f l}+m_{r r}+m_{r l} \\ & m_f=m_{f r}+m_{f l} \\ & m_r=m_{r r}+m_{r l} \end{aligned}$

其中

$m_f ,m_r$ ：分别是前轴和后轴的总质量。
$m_{f r}, m_{f l}, m_{r r}, m_{r l}$ ：分别是右前轮、左前轮、右后轮、左后轮的质量。

2.转动惯量

车辆的转动惯量 $I_z$ 可以通过将车辆视为由两个点质量连接起来的简化模型来近似。公式为：

$I_Z=m_f \ell_f^2+m_r \ell_r^2$

3.侧偏刚度估计

对于某辆特定的车，如果我们不和车厂合作，轮胎侧偏刚度那幅图其实是很难拿到的。那么我们要怎么样做才能够测量出我们的这个侧偏刚度呢？其实我们可以用一些可以采集到，可以测量的量来进行一个估计。

假设条件：

横向速度 $v_y$ 和横摆角速度 $\dot{r}$ 未被直接测量。
车辆的纵向速度 $v_x$ 和横摆角速度 $r$ 可用。
使用 欧拉方法 将连续时间方程离散化。

系统的运动方程由车辆动力学模型得出：

横向速度变化率：

$\dot{v}_y+v_x r=\left(\frac{-\ell_f r-v_y}{m v_x}+\frac{\delta}{m}\right) c_f+\left(\frac{\ell_r r-v_y}{m v_x}\right) c_r$

横摆角速度变化率：

$\dot{r}=\left(\frac{-\left(\ell_f v_y+\ell_f^2 r\right)}{I_z v_x}+\frac{\ell_f \delta}{I_z}\right) c_f+\left(\frac{\ell_r v_y-\ell_r^2 r}{I_z v_x}\right) c_r$

离散化处理：
使用欧拉方法对时间离散化，记 $\Delta t$ 为采样时间，得到离散形式：

对横向速度 $v_y$ ：

$v_y(k+1)-v_y(k)+v_x(k) r(k) \Delta t=\left(-\frac{\ell_f r(k)+v_y(k)}{m v_x(k)}+\frac{\delta(k)}{m}\right) \Delta t c_f+$ $\left(\frac{\ell_r r(k)-v_y(k)}{m v_x(k)}\right) \Delta t c_r$

对横摆角速度 $r$

$r(k+1)-r(k)=\left(-\frac{\ell_f v_y(k)+\ell_f^2 r(k)}{I_z v_x(k)}+\frac{\ell_f \delta(k)}{I_z}\right) \Delta t c_f+\left(\frac{\ell_r v_y(k)-\ell_r^2 r(k)}{I_z v_x(k)}\right) \Delta t c_r$

方程离散化后可以视为一个 最小二乘估计问题。

这里我们用递推最小二乘法:RLS递推最小二乘法RLS的轮胎侧偏刚度估计(原书缺失代码已补全)_轮胎侧偏角约束 mpc-优快云博客

$A=\left[\begin{array}{c} v_y(2)-v_y(1)+v_x(1) r(1) \Delta t \\ r(2)-r(1) \\ \vdots \\ v_y(n)-v_y(n-1)+v_x(n-1) r(n-1) \Delta t \\ r(n)-r(n-1) \end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc} \left(\frac{-\ell_f r(1)-v_y(1)}{m v_x(1)}+\frac{\delta(1)}{m}\right) \Delta t & \left(\frac{\ell_r r(1)-v_y(1)}{m v_x(1)}\right) \Delta t \\ \left(\frac{-\ell_f v_y(1)-\ell_f^2 r(1).}{I_z v_x(1)}+\frac{\ell_f \delta(1)}{I_z}\right) \Delta t & \left(\frac{\ell_r v_y(1)-\ell_r^2 r(1)}{I_z v_x(1)}\right) \Delta t \\ \vdots \\ \left(\frac{-\ell_f r(n-1)-v_y(n-1)}{m v_x(n-1)}+\frac{\delta(n-1)}{m}\right) \Delta t & \left(\frac{\ell_r r(n-1)-v_y(n-1)}{m v_x(n-1)}\right) \Delta t \\ \left(\frac{-\ell_f v_y(n-1)-\ell_f^2 r(n-1)}{I_z v_x(n-1)}+\frac{\ell_f \delta(n-1)}{I_z}\right) \Delta t & \left(\frac{\ell_r v_y(n-1)-\ell_r^2 r(n-1)}{I_z v_x(n-1)}\right) \Delta t \end{array}\right]$