【AcWing算法提高课】3.1.1单源最短路的建图方式

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已于 2023-01-29 23:06:39 修改

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分类专栏： AcWing算法提高课文章标签：算法图论

于 2023-01-23 23:43:47 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_71477690/article/details/128747505

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这篇博客回顾了单源最短路算法，包括Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA等，并通过6个实例（热浪、信使、香甜的黄油、最小花费、最优乘车、昂贵的聘礼）详细讲解了如何在不同场景下应用这些算法。同时，介绍了如何针对不同问题特点选择合适的算法和建图策略。

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零、回顾单源最短路的算法

单源最短路算法汇总：

边权均非负
– 朴素Dijkstra，用于稠密图
– 堆优化Dijkstra，用于稀疏图
有负权边
– Bellman-Ford，少用
– SPFA

最短路问题的难点在于问题的转化和抽象。本节给出单源最短路的一些简单应用。

一、热浪

1129.热浪题目链接

本题题干较长，但题意十分简单，即在一个双向图上求单源最短路，上述所有算法均可使用，这里用SPFA求解。

代码实现：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2510, M = 12410;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N], q[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c){
   
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void spfa(){
   
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[S] = 0;
    
    int hh = 0, tt = 1;
    q[0] = S, st[S] = 1;
    
    while (hh != tt){
   
        int t = q[hh ++];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = 0;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){
   
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]){
   
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]){
   
                    q[tt ++] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = 1;
                }
            }
        }
    }
}

int main(){
   
    cin >> n >> m >> S >> T;
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < m; i ++){
   
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    
    spfa();
    
    cout << dist[T] << endl;
    
    return 0;
}

二、信使

1128.信使题目链接

本题是经典的广播模型。对于每个点来说，它收到信息所需的最短时间就是它到指挥部的最短距离；因此，对于整体来说，完成整个送信过程所需的最短时间，就是所有点到起点的最短距离中最大的那个。

本题数据较小，这里用简洁的Floyd求解。

代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int d[N][N];

int main(){
   
    cin >> n >> m;
    
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) d[i][i] = 0;
    
    for (int i = 0; i < m; i ++){
   
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        d[a][b] = d[b][a] = min(d[a][b], c);
    }
    
    for (int k = 1; k <= n; k ++)
        for (int i = 1; i <= n; i ++)
            for (int j = 1; j <= n; j ++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k