树状数组（Binary Indexed Tree)

树状数组是一种数据结构，用于高效地维护一个数组的前缀和。

它可以在O(logn)的时间内完成单点修改和区间查询操作。树状数组的核心思想是将数组分解成若干个小区间，每个小区间的和可以通过前面小区间的和计算得到。这样就可以通过二进制位运算来快速定位每个小区间的位置，从而实现高效的单点修改和区间查询操作。在引用中的代码中，树状数组被用来计算差分数组的前缀和，从而实现了高效的区间查询操作。

树状数组的存储方式是对每个数字转化为二进制，以末尾0的个数为层数创建一棵树，每个节点等于从这个数开始往前加lowbit()个数。

注：lowbit是通过位运算来求解二进制数末尾0的个数。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int lowbit(int t) {return t&(-t);}
int main(){
	return 0;
} 

树状数组主要分为两种操作：

一.改变一个数的大小

我们发现一个数字不断的加上他的lowbit()直到n为止，就是树状数组中所有包含这个数的前缀和。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int c[],n;
int lowbit(int t) {return t&(-t);}
void xg(int x,int y){
 	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
 		c[i]+=y;
    }
}
int main(){
	return 0;
} 

二.求l到r区间的和

同样运用前缀和的方法，用c[r]-c[l-1]。从1一直加到一个数的和正好是这个数不断的减去他的lowbit()直到1。

代码如下：
 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int c[],n,r,l;
int lowbit(int t) {return t&(-t);}
long long cx(int t){
	long long sum=0;
	for(int i=t;i;i-=lowbit(i)){
		sum+=c[i];
	}
	return sum;
}
int main(){
	long long sum=cx(r)-cx(l-1);//从r到l的区间和 
	return 0;
} 

例题：

给定一个长度为n的序列，进行q次操作，每一次可以选择个一个数加上一个x，也可以求任意一个区间的和。

思路：使用树状数组可以完美解决改变数字的前缀和问题。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,q,l,r,x;
long long c[N];
int lowbit(int t) {return t&(-t);}
void xg(int x,int y){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
		c[i]+=y;
	}
}
long long cx(int t){
	long long sum=0;
	for(int i=t;i;i-=lowbit(i)){
		sum+=c[i];
	}
	return sum;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x);
		xg(i,x);
	}
	while(q--){
		scanf("%d%d%d",&x,&l,&r);
		if(x==2){
			printf("%lld\n",cx(r)-cx(l-1));
		}
		else{
			xg(l,r);
		}
	}
	return 0;
} 

三.求最长上升子序列

题意：给定n个数，求最长上升子序列。

思路：这道题的正常思路是使用动态规划：c[i]=c[j]+1(a[i]>a[j])，但是每次都要去前面枚举最大的c[j]，因此我们采用树状数组来做，每个操作有些改动。

树状数组原来是求和，但我们把改成最大值，那么两个基本函数如下：

xg函数，用于插入一个数字：
 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int lowbit(int x){ return x&(-x); }
void xg(int x,long long y){
	for(int i=x;i<=maxx;i+=lowbit(i)){
		c[i]=max(c[i],y);
	}
}
int main(){
	return 0;
}

cx函数，用来找一个数，这里用来找最大值。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int lowbit(int x){ return x&(-x); }
int cx(int x){
	long long sum=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
		sum=max(sum,c[i]);
	}
	return sum;
}
int main(){
	return 0;
}

写法如下：
 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
long long n,a[N],c[N],maxx;
int lowbit(int x){ return x&(-x); }
void xg(int x,long long y){
	for(int i=x;i<=maxx;i+=lowbit(i)){
		c[i]=max(c[i],y);
	}
}
int cx(int x){
	long long sum=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
		sum=max(sum,c[i]);
	}
	return sum;
}
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		a[i]++;
		maxx=max(maxx,a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		long long ans=cx(a[i]-1);
		xg(a[i],ans+1);
	}
	printf("%lld",cx(maxx));
	return 0;
}

四.BIT-2

题意：给定一个n个数的数组a,经行q次操作：1.将al-ar每个数都加上一个k;2.求ak。

思路：区间增加数字，可以使用差分的思路，差分数组想要还原到原数组需要求前缀和，但每次要维护，所以可以使用树状数组来维护，具体思路如下：

树状数组的基本实现：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int lowbit(int x){ return x&(-x); }
void xg(int x,long long y){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
		c[i]+=y;
	}
}
long long cx(int x){
	long long sum=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
		sum+=c[i];
	}
	return sum;
}
int main(){
	return 0;
}

差分实现：
 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		b[i]=a[i]-a[i-1];
		xg(i,b[i]);
	}
	while(q--){
		scanf("%d",&k);
		printf("%lld\n",cx(k));
	}
	return 0;
}

总代码：
 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,q,a[N];
long long b[N],c[N];
itn o,l,r,k;
int lowbit(int x){ return x&(-x); }
void xg(int x,long long y){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
		c[i]+=y;
	}
}
long long cx(int x){
	long long sum=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
		sum+=c[i];
	}
	return sum;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		b[i]=a[i]-a[i-1];
		xg(i,b[i]);
	}
	while(q--){
		scanf("%d",&k);
		printf("%lld\n",cx(k));
	}
	return 0;
}