树状数组（Binary Indexed Tree，BIT）是一种高效的数据结构，用于解决一类常见的问题，例如快速计算前缀和、区间和以及进行单点更新等

树状数组（Binary Indexed Tree，BIT）是一种高效的数据结构，用于解决一类常见的问题，例如快速计算前缀和、区间和以及进行单点更新等。在本文中，我们将详细介绍树状数组的原理和使用方法，并给出相应的 C++ 实现。

树状数组原理

树状数组是基于二进制的数据结构，它利用了二进制数的性质来高效地进行前缀和的计算和单点更新。树状数组的核心思想是利用二进制的低位来表示区间的长度，从而快速计算和更新区间的和。

树状数组的主要操作有两个：前缀和查询和单点更新。

前缀和查询

对于一个给定的数组 arr，我们可以通过树状数组快速计算 arr 的前缀和。假设 n 是数组的长度，那么树状数组会维护一个长度为 n+1 的辅助数组 bit，其中 bit[i] 表示 arr 在位置 i 之前的所有元素的和。

计算前缀和的步骤如下：

1. 初始化树状数组 bit，将所有元素初始化为 0。
2. 对于数组 arr 中的每个元素 arr[i]，从 i 开始，不断向前更新 bit 直到达到数组的边界。
   • 更新操作：bit[j] += arr[i]，其中 j 是 i</