LeetCode——704（二分查找）

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二分查找

题目描述

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

1. 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
2. n 将在 [1, 10000]之间。
3. nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

二分法思想

二分查找（Binary Search）是一种高效的查找算法，其基本思想是在有序数组中查找某一特定元素的索引。二分查找的核心在于每次将查找范围缩小一半，从而大大减少了查找所需的时间。以下是二分查找的思想和步骤：

• 前提：确保待查找的数据是有序排列的。
• 查找：从整个有序数据集开始，通过比较目标值与当前范围中间值，决定下一步是在前半段还是后半段继续查找。
• 重复：每次查找都将范围缩小一半，不断重复这个过程直到找到目标值或确定目标值不在数据集中。
• 定位：通过上述过程能够快速定位目标值，因为每次迭代都显著减少了需要考虑的数据量。

题解

在进行算法编写的时候，对边界情况的处理十分关键，主要分为两种情况：左闭右闭和左闭右开

问：为什么边界情况会影响算法编写？

答：我们目标值和现在的中间值mid不匹配时，就需要重新划分区间，而右边界的开闭会影响下一次left或者right的取值。

边界情况影响算法编写的原因在于，它们决定了在每次迭代后如何更新搜索范围。如果边界条件设置不当，可能会导致无限循环（即无法退出循环）或提前终止循环（即未能充分缩小搜索范围），这两种情况都会导致算法不能正确地找到目标值。

两种常见区间及其处理方式

1. 左闭右闭 [left, right]

在这种情况下，left 和 right 都是可能的索引位置，意味着整个范围内的所有元素都是潜在的候选者。因此：

• 如果目标值 target > mid 处的值，那么下一次搜索应该从 mid + 1 开始，因为 mid 已经检查过并且不匹配。
• 如果目标值 target < mid 处的值，那么下一次搜索的上限应该是 mid - 1，因为 mid 已经被排除在外，而且由于右边界是闭合的，所以不需要包括 mid。

class Solution {
public:
	int search(vector<int>& nums, int target)
	{
		int left = 0;                                 //下标从0开始
		int right = nums.size() - 1;                  //定义target在左闭右闭的区间里[left,right]  
		while (left <= right)                         //当left == right时，区间[left, right]仍然有效
		{
			int mid = (left + right)/ 2; 
			if (nums[mid] > target)
			{
				right = mid - 1;                      // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
			}
			else if (nums[mid] < target)              // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
			{
				left = mid + 1;
			}
			else                                      // nums[middle] == target
			{
				return mid;                           // 数组中找到目标值，直接返回下标
			}
		}
		return -1;                                    //未找到目标值
	}
};

补：对于while (left <= right)中”=”的理解：可以考虑一个比较极端的情况，即数组中只含有一个元素，如[3],此时left = right = mid = 1；需要进行一次搜索，若不含等号，则不会进行搜索，那结果就是有问题的。

2. 左闭右开 [left, right)

当使用左闭右开区间时，right 并不是一个有效的索引，它只是表示搜索范围的结束标志，但不包含在实际的搜索范围内。因此：

• 如果目标值 target > mid 处的值，那么下一次搜索仍然从 mid + 1 开始，这一点与左闭右闭相同。
• 如果目标值 target < mid 处的值，那么下一次搜索的上限可以简单地设置为 mid，因为 right 本身不是有效的索引，所以不会造成多余的比较。

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) 
    {
        int left = 0;
        int right = nums.size();                           // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)
        while (left < right)                               // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
        { 
            int mid = (left + right)/ 2; 
            if (nums[mid] > target) 
            {
                right = mid;                               // target 在左区间，在[left, middle)中
            }
            else if (nums[mid] < target) 
            {
                left = mid + 1;                            // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
            }
            else                                           // nums[middle] == target
            { 
                return mid;                                // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        return -1;                                         // 未找到目标值
    }
};

补：右区间开闭影响了right的初始值，当右区间是闭的，则需要right = nums.size() - 1，开区间则不需要-1。

二分查找的时间和空间复杂度：

• 时间复杂度为：O(log2n)
• 空间复杂度为：O(1)