【洛谷】P3912_素数个数

该博客讨论了如何解决求解1到N中素数个数的问题,强调了常规暴力方法在面对大数据范围时的局限性,并介绍了欧拉筛法作为有效的解决方案。博主分享了一段C++实现的代码,并提到了数据范围的测试比例,还推荐了一首歌曲。

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素数个数

题目描述

1 , 2 , ⋯   , N 1,2,\cdots,N 1,2,,N 中素数的个数。

输入格式

一行一个整数 N N N

输出格式

一行一个整数,表示素数的个数。

样例 #1

样例输入 #1

10

样例输出 #1

4

提示

对于 40 % 40\% 40% 的数据, 1 ≤ N ≤ 1 0 6 1 \le N \le 10^6 1

### 关于洛谷 P1835 素数密度的解法 #### 使用线性筛法提高效率 针对素数密度这一类问题,采用线性筛法是一种高效的方法。这种方法能够在线性时间内完成对范围内所有素数的筛选工作[^1]。相比于暴力枚举每一个整数并检验其是否为素数的方式,线性筛法显著减少了不必要的重复运算。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int MAXN = 1e7 + 5; bool isPrime[MAXN]; int prime[MAXN], cnt; void linear_sieve(int n) { fill(isPrime, isPrime + n + 1, true); isPrime[0] = isPrime[1] = false; for (long long i = 2; i <= n; ++i) { if (isPrime[i]) prime[++cnt] = i; for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; ++j) { isPrime[i * prime[j]] = false; if (!(i % prime[j])) break; } } } ``` 此代码片段展示了如何实现线性筛法来找出给定范围内的全部素数。通过预先处理好这些数据,在面对查询请时可以直接给出答案而无需再次计算。 #### 利用合数性质降低复杂度 考虑到合数 \(x\) 的最小质因子必定小于等于 \(\sqrt{x}\)[^4],基于这一点可以在某些情况下进一步简化算法逻辑或者加速特定操作。当涉及到较大数值区间内的素数判定时,这种特性有助于快速排除非素数的可能性,从而加快整体执行速度。 #### 结合实际应用场景调整策略 对于不同规模的数据集以及具体的竞赛环境而言,选择合适的预处理方式至关重要。例如,在内存允许的情况下尽可能多地提前准备好常用的小素数列表;而在极端大范围询问场景下,则需权衡存储开销与实时计算之间的利弊关系。
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