【练习】洛谷 P3912 素数个数

题目

P3912 素数个数

题目描述

求 $1,2,\cdots ,N$ 中素数的个数。

输入格式

一行一个整数 $N$。

输出格式

一行一个整数，表示素数的个数。

输入输出样例 #1

输入 #1

10

输出 #1

4

说明/提示

对于 $40\%$ 的数据，$1\le N\le 10^6$。

对于 $80\%$ 的数据，$1\le N\le 10^7$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 10^8$。

来源：洛谷 P3912 素数个数

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思路（注意事项）

使用 int a[N]; 最终不能通过所有测试案例，主要有以下几个方面的原因：

1. 内存占用问题

• 数组类型导致的内存占用：int 类型通常在大多数系统中占用 4 个字节的内存空间。当你定义 int a[N]; 且 N = 1e8 + 1 时，数组 a 所占用的内存大小为 4 * (1e8 + 1) 字节，大约为 400MB。
• 内存限制：在一些在线评测系统（OJ）中，通常会对程序的内存使用量进行限制，一般限制在几百兆字节以内。使用 int 类型的数组会占用大量的内存，很容易超出内存限制，导致程序运行时出错，无法通过所有测试案例。

2. 空间浪费问题

• 布尔标记本质：在该算法中，数组 a 的作用是标记一个数是否为合数，只需要两种状态，即“是合数”或“是质数”，本质上用一个布尔值（true 或 false）就可以表示。
• int 类型的浪费：int 类型有 32 位，可以表示 $2^{32}$ 个不同的值，但在这个场景中，只需要 2 种状态，使用 int 类型会造成大量的空间浪费。

解决方案

使用 bool 类型的数组可以有效解决上述问题：

• 内存占用小：bool 类型通常只占用 1 个字节的内存空间，定义 bool a[N]; 时，数组 a 所占用的内存大小为 (1e8 + 1) 字节，大约为 100MB，相比 int 类型的数组，内存占用减少了四分之三。
• 满足需求：bool 类型正好可以表示“是合数”（true）和“是质数”（false）这两种状态，满足算法的需求。

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纯代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e8 + 1;
bool a[N]; //很关键

int main(){
    int n; 
    cin >> n;

    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
        if(a[i] == 0) //很关键
            for (int j = i * i; j <= n; j += i)
                a[j] = 1;

    int sum = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
        if (a[i] == 0) sum ++;
    cout << sum;
    return 0;
}

题解（加注释）

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e8 + 1; // 定义数组的最大大小
bool a[N]; // 用于标记是否为合数的数组，a[i] = 0 表示 i 是质数，a[i] = 1 表示 i 是合数

int main(){
    int n; 
    cin >> n; // 输入上限 n

    // 埃拉托斯特尼筛法：标记所有合数
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) // 遍历从 2 到 sqrt(n) 的所有数
        if(a[i] == 0) // 如果 i 是质数
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) // 标记 i 的所有倍数为合数
                a[j] = 1;

    // 统计质数的数量
    int sum = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) // 遍历从 2 到 n 的所有数
        if (a[i] == 0) sum ++; // 如果 i 是质数，计数器加 1

    // 输出质数的数量
    cout << sum;
    return 0;
}