【C++第十九章】AVL树

【C++第十九章】AVL树

AVL树介绍

  尽管已经有了二叉搜索树，但是二叉搜索树存在单支树或近似单支树的情况，这会使二叉搜索树的优势不复存在，所以两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了AVL树，AVL树在二叉搜索树的基础上进行优化，当向二叉树搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度差的绝对值不超过1，即可降低树的高度，因此减少平均搜索长度。

一棵AVL树具有以下性质：

1. 它的左右子树都是AVL树。
2. 左右子树高度之差(平衡因子)的绝对值不超过1。
3. 如果一棵二叉搜索树高度是平衡的，则它为AVL树，假设有N个结点，那么它的高度可保持在O(log2N)，搜索的时间复杂度为O(log2N)。

AVL树结点的定义

  在AVL树定义中，我们使用了三叉链，尽管多开了一个指针，但是大大减少了程序的复杂度，插入时可以快速找到父节点从而进行平衡因子判断、调整。

template<class K, class V> //KV模型
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left; //左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right; //右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父节点
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;  //平衡因子
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

AVL树的插入

  插入规则与二叉搜索树规则一致，但是插入后我们需要判断平衡因子的情况。

  在插入前，parent的平衡因子会分为三种情况，-1,0,1，而AVL按规则来看，插入后平衡因子会出现两种情况：

1. 当插入的cur在左边时，parent的平衡因子bf - 1。
2. 当插入的cur在右边时，parent的平衡因子bf + 1。

  此时parent的平衡因子可能有三种情况，0，正负1，正负2，那么：

1. 如果parent的平衡因子为0，则说明插入前平衡因子为正负1，插入后被调整为0，满足AVL性质，成立