机器学习：支持向量机（SVM）

一、算法介绍

        

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的监督学习算法，用于分类和回归任务。SVM的基本原理是构建一个最优超平面来分割不同类别的数据点。

在二分类问题中，SVM试图找到一个能够将两个类别的数据点尽可能分开的超平面。超平面是一个d-1维的线性子空间，其中d是数据的特征维度。SVM的目标是找到具有最大间隔（即离超平面最近的样本点的距离最大）的超平面。

SVM的核心思想是将数据映射到高维特征空间中，通过引入核函数可以避免直接计算高维特征空间的复杂性。常用的核函数有线性核、多项式核和高斯核等。这些核函数能够将数据从原始空间映射到一个更高维度的空间，使得原本线性不可分的数据在新的空间中变得线性可分。

SVM的训练过程可以形式化为一个凸优化问题，通过最小化目标函数来确定超平面的位置和宽度。目标函数通常由数据的误分类损失和正则化项组成，正则化项是为了防止过拟合。

一旦训练完成，SVM可以用于对新样本进行分类或回归预测。对于分类问题，新样本将被映射到特征空间中，并根据其位置与超平面的关系来判断其所属类别。对于回归问题，SVM可以通过拟合一个边界带来预测。

SVM具有一些重要的特性，包括结构化风险最小化、稀疏性和鲁棒性等。它在处理小样本、高维数据和非线性问题方面表现出色，并在许多领域中得到广泛应用，如图像分类、文本分类、生物信息学和金融预测等。

二、基于最大间隔分隔数据

2.1 线性模型

        在二维空间上，两类点被一条直线完全分开叫做线性可分。如下图，在二维坐标下，样本空间中找到直线, 将不同类别的样本分开。

上述将数据集分隔开来的直线称为分隔超平面，即

2.2 超平面
        由于数据点都在二维平面上，所以此时分隔超平面就只是一条直线。但是，如果所给的数据 集是三维的，那么此时用来分隔数据的就是一个平面。显而易见，更高维的情况可以依此类推。如果数据集是1000维的，那么就需要一个999维的某某对象来对数据进行分隔。当数据集是N维时，需要一个N-1维的某某对象来对数据进行分隔。N-1维的该对象被称为超平面（hyperplane），也就是分类的决策边界。 分布在超平面一侧的所有数据都属于某个类别，而分布在另一侧的所有数据则属于另一个类别。 

 

从二维扩展到多维空间中时，将 D0和 D1 完全正确地划分开的  就成了一个超平面。为了使这个超平面更具鲁棒性，我们会去找最佳超平面，以最大间隔把两类样本分开的超平面，也称之为最大间隔超平面。

 如上图，有五条直线，它们都能将数据分隔开，但是其中哪一条最好呢？我们希望找到离分隔超平面最近的点，确保它们离分隔面的距离尽可能远。这里点到分隔面的距离被称为间隔（margin）。我们需要的是间隔尽可能地大，这是因为如果犯错或者在有限数据上训练分类器的话，分类器尽可能健壮。所以，应选择”正中间”的那条直线 , 容忍性好, 鲁棒性高, 泛化能力最强，选择最大化决策边界的边缘。

2.3 支持向量

如下图，支持向量（support vector）就是离分隔超平面最近的那些点。

超平面方程：

2.4 支持向量机
        支持向量机（Support Vector Machines, SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器&