过河卒（DFS||递推）

*黎阳*

已于 2022-02-17 21:46:54 修改

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分类专栏： dp 文章标签：蓝桥杯 c++

于 2022-02-17 21:46:31 首次发布

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这篇博客探讨了三种不同的算法方法来计算棋盘上马移动并避开控制点的同时，过河卒能够到达目标位置的路径数量。方法一采用深度优先搜索（DFS），方法二结合DFS与记忆化搜索优化，方法三通过递推公式求解。每种方法都详细解释了实现过程，并提供了C++代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

方法一：用dfs直接搜索

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,x1,y1,ans=0;
int dir[8][2]={{-1,-2},{-2,-1},{-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2}};
//记录马可以走到的位置 
int dr[2][2]={{1,0},{0,1}};
//记录过河卒可以走的方向 
int vis[30][30];
//记录过河卒是否走过该位置 
int check(int xx,int yy)
{
	if(xx>=0&&xx<=n&&yy>=0&&yy<=m&&vis[xx][yy]==0) 
	  return 1;
	return 0;
}

void dfs(int x,int y)
{
	if(x==n&&y==m) 
	{
		ans++;
		return;
	}
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		int xx=x+dr[i][0];
		int yy=y+dr[i][1];
		if(check(xx,yy))
		{
			vis[xx][yy]=1;
			dfs(xx,yy);
			vis[xx][yy]=0;
		}
	}
}

int main()
{
	cin>>n>>m>>x1>>y1;
	for(int i=0;i<8;i++)
	{
		int xx=x1+dir[i][0];
		int yy=y1+dir[i][1];
		if(xx>=0&&xx<=n&&yy>=0&&yy<=m&&vis[xx][yy]==0)
		{
			vis[xx][yy]=1;
		} 
	}
	vis[x1][y1]=1;
	vis[0][0]=1;
	dfs(0,0);
	cout<<ans;
	
	return 0;
}

方法二：DFS+记忆化搜索

由于单独使用DFS搜索会出现重叠子问题，所以我们可以把已经得到的DFS答案记录下来，下次使用的时候就无需再求一遍。

这里的DFS是从后往前搜索（但是回溯的时候是从前往后的），比如去任意一个点（x,y)，那么这个点可以从他的上方或者左方过来，也就是（x,y-1)和（x-1,y)，我们就可以利用这个关系来求解：（这里欧氏距离求控制点也比较巧妙）

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,x1,y1; 
long long sans[30][30];//表示从起始点到这个点有多少路径 
int used[30][30];//表示这个点有多少路径是否求出 

int check(int x,int y)
{
	if(x==x1&&y==y1) return 0;//为控制点 
	if(x==x1||y==y1) return 1;//不是控制点 
	
	int dx=x-x1;
	int dy=y-y1;
	int sum=dx*dx+dy*dy;//计算欧氏距离 
	if(sum==5) return 0;
	else return 1;
}

long long int dfs(int x,int y)
{
	if(used[x][y]) return sans[x][y];
	if(!check(x,y)) return 0;
	
	long long int ans=0;
	ans+=dfs(x,y-1);
	ans+=dfs(x-1,y);
	sans[x][y]=ans;
	used[x][y]=1;
	
	return ans; 
}

int main()
{
	cin>>n>>m>>x1>>y1;
	
	for(int i=0;i<=n;i++)//处理边界,第1行第1列至多有一种路线 
	{
		if(!check(i,0)) break;//如果某一个点为控制点，那么过河卒走不到这个点，它后面的点也就不能走到 
		sans[i][0]=1;
	}
	for(int i=0;i<=m;i++)//处理边界 
	{
		if(!check(0,i)) break;
		sans[0][i]=1;
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		used[i][0]=1;
	}
	for(int i=0;i<=m;i++)
	{
		used[0][i]=1;
	}
	
	cout<<dfs(n,m);
	
	return 0;
}

方法三：递推

先确定第一行第一列，从起始点往后求出每一个点的答案值，还是利用该点可能从左边或者上边到达的原理

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,x1,y1; 
int g[30][30];
int dir[8][2]={{-1,-2},{-2,-1},{-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2}}; 
long long f[30][30];//记录从起始点到这个点有多少条路 
//检查这个点是否为控制点或者越界 
bool check(int x,int y)
{
	if(x>=0&&x<=n&&y>=0&&y<=m&&g[x][y]==0)
	 return true;
	return false;
}

int main()
{
	cin>>n>>m>>x1>>y1;
	
	for(int i=0;i<8;i++)//记录控制点 
	{
		int nx=x1+dir[i][0];
		int ny=y1+dir[i][1];
		if(nx>=0&&nx<=n&&ny>=0&&ny<=m&&g[nx][ny]==0)
		  g[nx][ny]=1;
	}
	g[x1][y1]=1;
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(g[i][0]) break;
		else f[i][0]=f[i-1][0];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(g[0][i]) break;
		else f[0][i]=f[0][i-1];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(check(i,j))
			{
				f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];
	
	return 0;
}