1128蓝桥杯：背包问题(01背包、完全背包、多重背包)

一、01背包

1.01背包模型

有一个体积为V的背包，商店有n个物品，每个物品有一价值v和体积w，每个物品只能被拿一次，问能够装下物品的最大价值。

这里每一种物品只有两种状态即“拿“或“不拿”。

设状态dp[i][j]表示到第i个物品为止，拿的物品总体积为j的情况下的最大价值。

我们并不关心某个物品有没有被拿，只关心当前体积下的最大价值。

转移方程为:

                        dp[i][j]= max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w]+v);

如果不拿物品i，那么最大价值就是dp[i-1][j]，如果拿了就是从体积j-v转移过来，体积会变大w，价值增加V。

最后输出dp[n][V]。

2.优化(听不懂)

二、完全背包

完全背包也叫无穷背包，即每种物品有无数个的背包。

有一个体积为V的背包，商店有n个物品，每个物品有一个价值v和体积w，每个物品有无限多个，可以被拿无穷次，问能够装下物品的最大价值。

这里每一种物品只有无穷种状态即“拿0个、1个、2个··无穷多个”。

设状态dp[i]表示拿的物品总体积为i的情况下的最大价值。

我们并不关心某个物品拿了几个，只关心当前体积下的最大价值。

转移方程为:dp[i]=max(dp[i],dp[i-w]+v),现在就必须使用“新数据”来更新“新数据",因为新数据中包括了拿当前这个物品的状态，而当前这个物品是可以被拿无数次的。

最后输出dp[V]即可。        

三、多重背包

1.多重背包基础模型

有一个体积为V的背包，商店有n种物品，每种物品有一个价值v和体积w，每种物品有s个，问能够装下物品的最大价值。

这里每一种物品只有s+1种状态即“拿0个、1个、2个...s个"。

在基础版模型中，多重背包就是将每种物品的s个摊开，变为s种相同的物品，从而退化成01背包处理。
只需要在01背包的基础上稍加改动，对每一个物品循环更新s次即可。

2.二进制优化模型

多重背包基础模型的时间复杂度为O(n*s*V)，当s较大时，容易超时。

为了解决这个问题，我们可以在“拆分”操作时进行一些优化，我们不再是拆分成均为1个物品组，而是每一组的物品个数为1、2、4、8 ··· x 最后剩下的单独为一组，这样一定存在种方案来表示0~s的所有情况 (想象二进制数的表示方法)

在经典模型中，一种物品将被拆分为s组，每组一个，而二进制优化模型中，一种物品将被拆分为约log2(s)组，其中每组个数为1,2,4,8··· 例如s=11，将被拆为s=1+2+4+4。

这样对拆分后的物品跑一遍01背包即可，时间复杂度为O(n*log(s)*V)。