1124蓝桥杯：动态规划基础（线性dp、二维dp、LIS、LCS）

一、线性DP

1.概念

DP(动态规划)全称Dynamic Programming，是运筹学的一个分支，是一种将复杂问题分解成很多重叠的子问题的解得到整个问题的解的算法。

在动态规划中有一些概念:
状态:就是形如dp[i]li] = val的取值。其中i、j为下标，也是用于描述、确定状态所需的变量，val为状态值。
状态转移:状态与状态之间的转移关系，一般可以表示为一个数学表达式，转移方向决定了迭代或递归方向。
最终状态:也就是题目所求的状态，最后的答案。

2.分析步骤

2.1.确定状态，一般为“到第i个为止，xx为j(xx为k)的方案数/最小代价/最大价值”，可以根据数据范围和复杂度来推理。
2.2.确定状态转移方程，即从已知状态得到新状态的方法,并确保按照这个方向一定可以正确地得到最终状态。
根据状态转移的方向来决定使用迭代法还是递归法(记忆化)。

2.3.确定最终状态并输出。

二、二维dp

二维dp就是指dp数组的维度为二维的dp (当然有时候可能会三维四维,或者存在一些优化使得它降成一维)，广义的来讲就是有多个维度的dp，即用于描述dp状态的变量不止一个

三、最长上升子序列LIS

LIS (最长上升子序列) 是一个经典的DP模型。

子序列指的是一个序列中,按照原序列选出若干个不一定连续的元素所组成的序列。本文学O(n^2)时间复杂度的朴素LIS模型，LIS还有一种利用二分实现的O(nlogn)时间复杂度的模型，理解起来略有难度。

在求解LIS时，一般我们会设dp[i]表示1~i序列中以a[i]结尾的最长上升子序列的长度,状态转移方程为:
dp[i] = max(dp[j]+ 1), if a[i]> a[j]。

表示a[i]要插人到不同子序列后面的情况。

四、最长公共子序列LCS

LCS (Longest Common Subsequence列)是一个经典的DP模型。

本文讲解O(n^2)时间复杂度的LCS模型

LCS问题是给定两个序列A和B，求它们的最长公共子序列。

在求解LCS时，一般我们会设dp[i][i表示A[1~i]序列和B[1~j]序列中(不规定结尾)的最长公共子序的长度，状态转移方程为:

                               if a[i] =b[j]:dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

                               else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

解释一下: 当a[i]=b[i]时，可以将他们作为插入到LCS的后面，使得长度变长1，当a[i]!=b[j]时,说明此时LCS不会延长,那就要从dp[i-l][j]和dp[i][j-1]中取大的作为最长的长度。