（贪心、斜率优化）洛谷 P2120 ZJOI2007 仓库建设 题解

题意

L 公司有 $n$ 个工厂，由高到低分布在一座山上，工厂 $1$ 在山顶，工厂 $n$ 在山脚。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第 $i$ 个工厂目前已有成品 $p_i$ 件，在第 $i$ 个工厂位置建立仓库的费用是 $c_i$。

对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于 L 公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂 $n$，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，一件产品运送一个单位距离的费用是 $1$。

假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：

• 工厂 $i$ 距离工厂 $1$ 的距离 $x_i$（其中 $x_1=0$）。
• 工厂 $i$ 目前已有成品数量 $p_i$。
• 在工厂 $i$ 建立仓库的费用 $c_i$。

请你帮助 L 公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用 + 运输费用）最小。

$1\le n\le 10^6$，$0\le x_i,p_i,c_i<2^{31}$。$\forall 1\le i<n,x_i<x_{i+1}$。

设答案为 $ans$，保证 $ans+\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i<2^{63}$。

思路

考虑朴素的 dp，设 $f_i$ 表示工厂 $i$ 建仓库，前面 $i-1$ 个工厂处理完成的最小费用。那么有：
$$f_i=\underset{j=1}{\overset{i-1}{\min }}\left\{f_j+c_i+\sum _{k=j+1}^i{p}_k(x_i-x_k)\right\}$$

考虑把求和那一坨变得好看些，设：
$$s{1}_j=\sum _{k=1}^j{p}_k{x}_k,s{2}_j=\sum _{k=1}^j{p}_k$$

那么变形一下原来的式子：
$$f_j+c_i+x_i\sum _{k=j+1}^i{p}_k-\sum _{k=j+1}^i{p}_k{x}_k$$

$$f_j+c_i+x_i(s{2}_i-s{2}_j)-(s{1}_i-s{1}_j)$$

设两个决策点 $j1<j2$ 且 $j2$ 优于 $j1$，那么：
$$f_{j1}+c_i+x_i(s{2}_i-s{2}_{j1})-(s{1}_i-s{1}_{j}1)>f_{j2}+c_i+x_i(s{2}_i-s{2}_{j2})-(s{1}_i-s{1}_{j2})$$

$$x_i(s{2}_{j2}-s{2}_{j1})>f_{j2}-f_{j1}+s{1}_{j2}-s{1}_{j1}$$

因为 $s{2}_{j2}>s{2}_{j1}$，所以直接除过去：
$$x_i>\frac{f_{j2}-f_{j1}+s{1}_{j2}-s{1}_{j1}}{s{2}_{j2}-s{2}_{j1}}$$

$$\frac{f_{j2}-f_{j1}+s{1}_{j2}-s{1}_{j1}}{s{2}_{j2}-s{2}_{j1}}<x_i$$

$slope<x_i$ 且 $x_i$ 单调递增，那么和玩具装箱是同一类，维护斜率单调递增，新建决策点扔到队首。再看看那一张结论图：

因为最终“集中地”不一定在 $n$，即可能 $p_n=0$，设 $p_i\ne 0,i=imax\in [1,n]$，那么应当计算 $[i,n]$ 的答案，找费用最少得“集中地”。
$$ans=\underset{j=i}{\overset{n}{\min }}{f}_j$$

还要注意一点就是有精度问题，因为这个在洛谷被卡了很久，因此把斜率式子的分子分母拆开来交叉相乘进行对比。具体细节建代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define dd double
#define ls u<<1
#define rs u<<1|1
const ll N=1e6+9,inf=0x7f7f7f7f;
ll n,x[N],p[N],c[N];
ll s1[N],s2[N];
ll q[N],f[N];
ll slope_up(ll j1,ll j2)
{
	return f[j2]-f[j1]+s1[j2]-s1[j1];
}
ll slope_down(ll j1,ll j2)
{
	return s2[j2]-s2[j1];
}
/*dd slope(ll j1,ll j2)
{
	if(s2[j2]==s2[j1])return inf;
	return (dd)(f[j2]-f[j1]+s1[j2]-s1[j1])/(dd)(s2[j2]-s2[j1]);
}惨死现场，被#13卡*/
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);
		s1[i]=s1[i-1]+x[i]*p[i];
		s2[i]=s2[i-1]+p[i];
	}
	ll hh=0,tt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(hh<tt&&slope_up(q[hh],q[hh+1])<x[i]*slope_down(q[hh],q[hh+1]))hh++;
		f[i]=f[q[hh]]+c[i]-(s1[i]-s1[q[hh]])+x[i]*(s2[i]-s2[q[hh]]);
		while(hh<tt&&slope_up(q[tt],i)*slope_down(q[tt-1],q[tt])<slope_up(q[tt-1],q[tt])*slope_down(q[tt],i))tt--;
		q[++tt]=i;
	}
	ll i=n,ans=f[n];
	while(i&&p[i]==0)
	{
		i--;
		ans=min(ans,f[i]);
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}