（记搜轮廓线 dp）SMOJ 一笔画/洛谷 P7171 COCI 2020/2021 #3 Selotejp 题解-优快云博客

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GJOI 2.19

1.一笔画

题意

给出 n 行 m 列的点阵，每个点是一个字符： “.” 或 “#” ，其中“#”表示该点是障碍物。

现在小毛的问题是：他最少要画多少笔才能把点阵里所有的“.”都覆盖完毕（被小毛画到的点就会被覆盖）。

小毛每次只能在某一行或某一列画，小毛当然想一笔就把某一行或某一列画完，

但很遗憾，在任何时候都不允许小毛画的那一段点阵含有障碍物。

还有一点更奇怪：已经被画过的点，不能重复被画。

问小毛最少要画多少笔？

$\le15$

2.Selotejp

两个字符的含义交换，数据范围改成 $1 \leq n \leq 1000 ， 1 \leq m \leq 10$

思路

非常复杂讨论的一道题，应该叫做轮廓线dp（插头dp弱化版，在某个数据小时用状压平替）

我们发现 $n, m$ 中有一个尤其小，那么可以想到对每一行的状态压缩

我们钦定 $m$ 位状态 $s$ ，每一位上， $0$ 表示填横线或者有障碍物， $1$ 表示填竖线。如果到了右侧边界，直接转移到下一行第一个，继承这个行状态，表示该行 $r$ 对下一行 $r + 1$ 的影响。

考虑一行一行处理，对于 $r$ 行 $c$ 列的格子，分情况考虑怎么画这个格子。

先明确：下文讲提到本位 $c$ 和上一位（左边） $c - 1$ ，在代码中它们的状态表示为：

int t=(1<<(c-1)),pt=(1<<(c-1-1));//t本位 pt上一位

障碍物

如果这个格子是一个障碍物，那么状态 $s$ 上的这一位理应填 $0$ ，需要强制把它修改为 $0$ ，因为不会从这个障碍物伸出一条竖线影响下一行了。之后向下一位转移。

if(a[r][c]=='#')//障碍物 
{
	if(s&t)f[r][c][s]=dfs(r,c+1,s^t);//去1 
	else f[r][c][s]=dfs(r,c+1,s);
	return f[r][c][s];
}

填竖线

如果上一行继承下来的状态，该为 $c$ 为 $1$ ，那么可以直接利用这条现成的竖线；否则需要多加一条竖线，把该位强制修改为 $1$ ，并记得加上 $1$ 。

if(s&t)shu=dfs(r,c+1,s);//s的c位是1，利用现有的竖线 
else shu=dfs(r,c+1,s|t)+1;//新建一条竖线

填横线

如果左边 $c - 1$ 位不是障碍物，且上一位 $c - 1$ 位填了 $0$ ，说明 $c$ 位左边有一条现成的横线，可以直接利用，并将该位 $c$ 强制修改为 $0$ 。

否则就需要在这一位新开一条横线，并将该位 $c$ 强制修改为 $0$ 。

if(a[r][c-1]=='.'&&!(s&pt))//上一个不是障碍物，且上一个填了横线 
{
	if(s&t)heng=dfs(r,c+1,s^t);//原本是竖线 
	else heng=dfs(r,c+1,s);//本来就是横线 
}
else //上一个是障碍物，要新建一条横线 
{
	if(s&t)heng=dfs(r,c+1,s^t)+1;
	else heng=dfs(r,c+1,s)+1;
}

换行、继承等操作，本人使用记忆化搜索。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=16,M=16,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
char a[N][M];
int f[N][M][1<<M];
int dfs(int r,int c,int s)
{
	if(r>n)return 0;
	if(c>m)return dfs(r+1,1,s);//换行，把状态复制到下一行 
	if(!(f[r][c][s]>=inf))return f[r][c][s];
	int t=(1<<(c-1)),pt=(1<<(c-1-1));//t本位 pt上一位 
	if(a[r][c]=='#')//障碍物 
	{
		if((s&t)==t)f[r][c][s]=dfs(r,c+1,s^t);//去1 
		else f[r][c][s]=dfs(r,c+1,s);
		return f[r][c][s];
	}
	//竖 
	int heng=inf,shu=inf;
	if((s&t)==t)shu=dfs(r,c+1,s);//s的c位是1，利用现有的竖线 
	else shu=dfs(r,c+1,s|t)+1;//新建一条竖线 
	if(a[r][c-1]=='.'&&!((s&pt)==pt))//上一个不是障碍物，且上一个填了横线 
	{
		if((s&t)==t)heng=dfs(r,c+1,s^t);//原本是竖线 
		else heng=dfs(r,c+1,s);//本来就是横线 
	}
	else //上一个是障碍物，要新建一条横线 
	{
		if((s&t)==t)heng=dfs(r,c+1,s^t)+1;
		else heng=dfs(r,c+1,s)+1;
	}
	f[r][c][s]=min(heng,shu);
	return f[r][c][s];
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)
	cin>>a[i][j];
	memset(f,inf,sizeof(f));
	printf("%d",dfs(1,1,0));
	return 0;
}