（树形 dp）洛谷 P2279 HNOI2003 消防局的设立 题解

题意

给定一棵树，要求所有节点被“消防站”覆盖，“消防站”的覆盖范围是距离本身距离不大于 $2$ 的所有节点。求设立消防站的最少数量。

节点数$1\le n\le 1000$

思路

树形 dp。感觉这题无从下手的原因就是不知道怎么设状态。

我们知道，节点要么本身是消防站，要么被消防站覆盖，考虑联系节点 $u$ 本身与覆盖自己的消防站 $k$。

令 $f_{u,k}$ 表示节点 $u$ 被 $k$ 覆盖，且 $u$ 子树内所有点已经完成了覆盖操作。

鉴于节点数 $n$ 比较小，因此 $\Theta (n)$ 枚举覆盖自己的消防站 $k$，做到 $\Theta (n^2)$ 的复杂度也是可以过的。

预处理树上各节点距离 $dis$。当 $dis(u,k)\le 2$ 时，那么 $k$ 可以成为覆盖 $u$ 的消防站，初始化 $f(u,k)=1$，再去研究 $u$ 的子树来更新 $f(u,k)$。

然后枚举 $u$ 的子节点 $v$，如果 $u$ 和 $v$ 都被 $k$ 覆盖，且 $v$ 被 $k$ 覆盖时最优（此时枚举的 dp 状态下，$v$ 必然被 $k$ 覆盖），那么可以取 $f(u,k)\leftarrow f(v,k)-1$，即把一开始初始化的 $1$，$k$ 为 $u$ 而建的消防站拆掉。

如果 $v$ 被 $k$ 覆盖时并非最优，那么怎么获取 $v$ 的最优覆盖信息呢？不妨引入 $nu{m}_u$ 表示，在 $u$ 子树内节点全部成功覆盖、所需最少的消防站数量。更新 $nu{m}_u$ 其实是简单的：
$$nu{m}_u=\underset{k=1,dis(u,k)\le 2}{\overset{n}{\min }}f(u,k)$$

那么最终 $f(u,k)$ 的式子也可以写出来了：
$$f(u,k)=\sum _{v\in so{n}_u}\min (nu{m}_u,f(v,k)-1)$$

为什么这样就是对的？$nu{m}_u$ 不会记下了 $v$ 被 $k$ 覆盖时最优的情况的吗？因为 $nu{m}_u$ 就算记下了 $v$ 被 $k$ 覆盖时最优的情况，也不会比 $\min$ 的另一项 $f(v,k)-1$ 更优，因而不会算重。

最终答案就是 $nu{m}_1$。

均摊下来 $\Theta (n^2)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1003,inf=0x3f3f3f3f;
ll n;
ll idx,head[N];
struct edge
{
	ll to,next;
}e[N<<1]; 
void addedge(ll u,ll v)
{
	idx++;
	e[idx].to=v;
	e[idx].next=head[u];
	head[u]=idx;
}
ll dis[N][N],f[N][N],num[N];
//dis(u,v):树上u,v距离
//f(u,k):u及其子树已经被覆盖、u被i覆盖的的最少消防站个数 
//num(u):u子树内点集恰好覆盖完，最少消防站个数 
void dfs(ll u,ll fa,ll rt)
{
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
	{
		ll v=e[i].to;
		if(v==fa)continue;
		dis[rt][v]=dis[v][rt]=dis[rt][u]+1;
		dfs(v,u,rt);
	}
}
void dp(ll u,ll fa)
{
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
	{
		ll v=e[i].to;
		if(v==fa)continue;
		dp(v,u);
	}
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		if(dis[u][k]>2)continue;
		f[u][k]=1;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
		{
			ll v=e[i].to;
			if(v==fa)continue;
			f[u][k]+=min(num[v],f[v][k]-1);
			//v已经被k覆盖过,-1 
			//若v最优消防站num(v)为k:f(v,k)，并非最小不会计算
			//即会计算最优消防站不为k的情况 
		}
		num[u]=min(num[u],f[u][k]);
	}
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		ll v;
		scanf("%lld",&v);
		addedge(i,v);
		addedge(v,i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	dfs(i,0,i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		num[i]=inf;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		f[i][j]=inf;
	}
	dp(1,0);
	printf("%lld",num[1]);
	return 0;
}